Прямое произведение

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и т. д.), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Прямое произведение в теории множеств

Произведение двух множеств

в	в	в	в	в	в	в	в
и	и	и	и	и	и	и	и
к	к	к	к	к	к	к	к
Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги

Пусть даны два множества <math>X</math> и <math>Y</math>. Прямое произведение множества <math>X</math> и множества <math>Y</math> есть такое множество <math>X \times Y</math>, элементами которого являются упорядоченные пары <math>(x,y)</math> для всевозможных <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>.

Отображения произведения множеств в его множители — <math>\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x</math> и <math>\psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y</math> — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Комментарии

Строго говоря, тождество ассоциативности <math>A \times (B \times C) = (A \times B) \times C</math> не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами <math>A \times (B \times C)</math> и <math>(A \times B) \times C</math> этим различием можно зачастую пренебречь.

Декартова степень

000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222
{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов

<math>n</math>-я Декартова степень множества <math>X</math> определяется для целых неотрицательных <math>n</math>, как <math>n</math>-кратное Декартово произведение <math>X</math> на себя:

<math>

\begin{matrix}

\underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. 

\\

n

\end{matrix} </math> Обычно обозначается как <math>X^n</math> или <math>X^{\times n}</math>.

При положительных <math>n</math> Декартова степень <math>X^n</math> состоит из всех упорядоченных наборов элементов из <math>X</math> длины <math>n</math>. Так вещественное пространство <math>\mathbb{R}^3</math> (множество кортежей из трех вещественных чисел), есть 3 степень множества вещественных чисел <math>\mathbb{R}.</math>

При <math>n=0</math>, Декартова степень <math>X^0,</math> по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

Прямое произведение семейства множеств

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение <math>X = \prod_{i\in I} X_i</math> определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу <math>i\in I</math> элемент множества <math>X_i</math>:

<math>

\prod_{i\in I} X_i = \{f\colon I \to \bigcup\limits_{i\in I} X_i \mid f(i) \in X_i, i \in I \}. </math> Отображения <math>\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)</math> называются проекциями.

В частности, для конечного семейства множеств <math>\{A_1, \dots ,A_n\}</math> любая функция <math> f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i </math> с условием <math>f(i) \in A_i</math> эквивалентна некоторому кортежу длины <math>n</math>, составленному из элементов множеств <math>\{A_i\}_{i = 1}^n</math>, так, что на <math>i</math>-ом месте кортежа стоит элемент множества <math>A_i</math>. Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств <math>\{A_i\}_{i = 1}^n</math> может быть записано так:

<math>

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}. </math> Проекции определяются следующим образом: <math>\pi_i\colon (a_1,\dots a_n) \mapsto a_i</math>

Прямое произведение отображений

Пусть <math>f</math> — отображение из <math>A</math> в <math>B</math>, а <math>g</math> — отображение из <math>X</math> в <math>Y</math>. Их прямым произведением <math>f\times g</math> называется отображение из <math>A\times X</math> в <math>B\times Y</math>: <math>(f\times g)(a,\; x) = (f(a),\; g(x))</math>.

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры

Прямое произведение групп

Прямое (декартово) произведение двух групп <math>(G,*)</math> и <math>(H,\circ)</math> — это группа из всех пар элементов <math>(g,h)</math> с операцией покомпонентного умножения: <math>(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)</math>. Эта группа обозначается как <math>G\times H</math>. Ассоциативность операции умножения в группе <math>G\times H</math> следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители <math>G</math> и <math>H</math> изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, <math>\{(g,1_H)\mid g\in G\}</math> и <math>\{(1_G,h)\mid h\in H\}</math> соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента <math>(1_G,1_H)</math>, который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, <math>\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}</math>, где <math>f(i)\isin G_i</math> и <math>(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)</math>. (Операция в правой части — это операция группы <math>G_i</math>.) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: <math>(1_i),\; i\in I</math>. Например, для счётного числа групп: <math>\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})</math>, где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех <math>f</math>, носитель которых (то есть множество <math>\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}</math>) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств <math>\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})</math> содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения <math>1_i</math> (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий <math>\mathbb R</math> суть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (т. н. финитных последовательностей).

Прямое произведение топологических пространств

Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> — два топологических пространства. Топология произведения <math>X\times Y</math> задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений <math>U\times V</math>, где <math>U</math> — открытое подмножество <math>X</math> и <math>V</math> — открытое подмножество <math>Y</math>.

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения <math>X = \Pi X_i</math> определение усложняется. Определим открытый цилиндр <math>Cyl(i,\;U) = \{x\in X\mid x_i\in U\}</math>, где <math>i\in I</math> и <math>U</math> — открытое подмножество <math>X_i</math>.

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество <math>I</math> имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Прямое произведение графов

	—	
	—	
		
	—	

Множество вершин прямого произведения двух графов <math>G</math> и <math>H</math> задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

• <math>(g,\;h)(g',\;h)</math>, где <math>g</math> и <math>g'</math> — соединённые ребром вершины графа <math>G</math>, а <math>h</math> — произвольная вершина графа <math>H</math>;
• <math>(g,\;h)(g,\;h')</math>, где <math>g</math> — произвольная вершина графа <math>G</math>, а <math>h</math> и <math>h'</math> — соединённые ребром вершины графа <math>H</math>.

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов <math>A</math> и <math>B</math> — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на <math>A</math> и <math>B</math>. Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

См. также

• Дизъюнктное объединение
• Полупрямое произведение
• Прямая сумма
• Тензорное произведение
• Декартовы координаты
• Операции над множествами
• Комбинаторика

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Прямое произведение

С этого дня он избегал Десаля, избегал ласкавшую его графиню и либо сидел один, либо робко подходил к княжне Марье и к Наташе, которую он, казалось, полюбил еще больше своей тетки, и тихо и застенчиво ласкался к ним.
Княжна Марья, выйдя от князя Андрея, поняла вполне все то, что сказало ей лицо Наташи. Она не говорила больше с Наташей о надежде на спасение его жизни. Она чередовалась с нею у его дивана и не плакала больше, но беспрестанно молилась, обращаясь душою к тому вечному, непостижимому, которого присутствие так ощутительно было теперь над умиравшим человеком.


Князь Андрей не только знал, что он умрет, но он чувствовал, что он умирает, что он уже умер наполовину. Он испытывал сознание отчужденности от всего земного и радостной и странной легкости бытия. Он, не торопясь и не тревожась, ожидал того, что предстояло ему. То грозное, вечное, неведомое и далекое, присутствие которого он не переставал ощущать в продолжение всей своей жизни, теперь для него было близкое и – по той странной легкости бытия, которую он испытывал, – почти понятное и ощущаемое.
Прежде он боялся конца. Он два раза испытал это страшное мучительное чувство страха смерти, конца, и теперь уже не понимал его.
Первый раз он испытал это чувство тогда, когда граната волчком вертелась перед ним и он смотрел на жнивье, на кусты, на небо и знал, что перед ним была смерть. Когда он очнулся после раны и в душе его, мгновенно, как бы освобожденный от удерживавшего его гнета жизни, распустился этот цветок любви, вечной, свободной, не зависящей от этой жизни, он уже не боялся смерти и не думал о ней.
Чем больше он, в те часы страдальческого уединения и полубреда, которые он провел после своей раны, вдумывался в новое, открытое ему начало вечной любви, тем более он, сам не чувствуя того, отрекался от земной жизни. Всё, всех любить, всегда жертвовать собой для любви, значило никого не любить, значило не жить этою земною жизнию. И чем больше он проникался этим началом любви, тем больше он отрекался от жизни и тем совершеннее уничтожал ту страшную преграду, которая без любви стоит между жизнью и смертью. Когда он, это первое время, вспоминал о том, что ему надо было умереть, он говорил себе: ну что ж, тем лучше.
Но после той ночи в Мытищах, когда в полубреду перед ним явилась та, которую он желал, и когда он, прижав к своим губам ее руку, заплакал тихими, радостными слезами, любовь к одной женщине незаметно закралась в его сердце и опять привязала его к жизни. И радостные и тревожные мысли стали приходить ему. Вспоминая ту минуту на перевязочном пункте, когда он увидал Курагина, он теперь не мог возвратиться к тому чувству: его мучил вопрос о том, жив ли он? И он не смел спросить этого.

Болезнь его шла своим физическим порядком, но то, что Наташа называла: это сделалось с ним, случилось с ним два дня перед приездом княжны Марьи. Это была та последняя нравственная борьба между жизнью и смертью, в которой смерть одержала победу. Это было неожиданное сознание того, что он еще дорожил жизнью, представлявшейся ему в любви к Наташе, и последний, покоренный припадок ужаса перед неведомым.
Это было вечером. Он был, как обыкновенно после обеда, в легком лихорадочном состоянии, и мысли его были чрезвычайно ясны. Соня сидела у стола. Он задремал. Вдруг ощущение счастья охватило его.
«А, это она вошла!» – подумал он.
Действительно, на месте Сони сидела только что неслышными шагами вошедшая Наташа.
С тех пор как она стала ходить за ним, он всегда испытывал это физическое ощущение ее близости. Она сидела на кресле, боком к нему, заслоняя собой от него свет свечи, и вязала чулок. (Она выучилась вязать чулки с тех пор, как раз князь Андрей сказал ей, что никто так не умеет ходить за больными, как старые няни, которые вяжут чулки, и что в вязании чулка есть что то успокоительное.) Тонкие пальцы ее быстро перебирали изредка сталкивающиеся спицы, и задумчивый профиль ее опущенного лица был ясно виден ему. Она сделала движенье – клубок скатился с ее колен. Она вздрогнула, оглянулась на него и, заслоняя свечу рукой, осторожным, гибким и точным движением изогнулась, подняла клубок и села в прежнее положение.
Он смотрел на нее, не шевелясь, и видел, что ей нужно было после своего движения вздохнуть во всю грудь, но она не решалась этого сделать и осторожно переводила дыханье.
В Троицкой лавре они говорили о прошедшем, и он сказал ей, что, ежели бы он был жив, он бы благодарил вечно бога за свою рану, которая свела его опять с нею; но с тех пор они никогда не говорили о будущем.
«Могло или не могло это быть? – думал он теперь, глядя на нее и прислушиваясь к легкому стальному звуку спиц. – Неужели только затем так странно свела меня с нею судьба, чтобы мне умереть?.. Неужели мне открылась истина жизни только для того, чтобы я жил во лжи? Я люблю ее больше всего в мире. Но что же делать мне, ежели я люблю ее?» – сказал он, и он вдруг невольно застонал, по привычке, которую он приобрел во время своих страданий.
Услыхав этот звук, Наташа положила чулок, перегнулась ближе к нему и вдруг, заметив его светящиеся глаза, подошла к нему легким шагом и нагнулась.
– Вы не спите?
– Нет, я давно смотрю на вас; я почувствовал, когда вы вошли. Никто, как вы, но дает мне той мягкой тишины… того света. Мне так и хочется плакать от радости.
Наташа ближе придвинулась к нему. Лицо ее сияло восторженною радостью.
– Наташа, я слишком люблю вас. Больше всего на свете.
– А я? – Она отвернулась на мгновение. – Отчего же слишком? – сказала она.
– Отчего слишком?.. Ну, как вы думаете, как вы чувствуете по душе, по всей душе, буду я жив? Как вам кажется?
– Я уверена, я уверена! – почти вскрикнула Наташа, страстным движением взяв его за обе руки.
Он помолчал.
– Как бы хорошо! – И, взяв ее руку, он поцеловал ее.
Наташа была счастлива и взволнована; и тотчас же она вспомнила, что этого нельзя, что ему нужно спокойствие.
– Однако вы не спали, – сказала она, подавляя свою радость. – Постарайтесь заснуть… пожалуйста.
Он выпустил, пожав ее, ее руку, она перешла к свече и опять села в прежнее положение. Два раза она оглянулась на него, глаза его светились ей навстречу. Она задала себе урок на чулке и сказала себе, что до тех пор она не оглянется, пока не кончит его.
Действительно, скоро после этого он закрыл глаза и заснул. Он спал недолго и вдруг в холодном поту тревожно проснулся.
Засыпая, он думал все о том же, о чем он думал все ото время, – о жизни и смерти. И больше о смерти. Он чувствовал себя ближе к ней.
«Любовь? Что такое любовь? – думал он. – Любовь мешает смерти. Любовь есть жизнь. Все, все, что я понимаю, я понимаю только потому, что люблю. Все есть, все существует только потому, что я люблю. Все связано одною ею. Любовь есть бог, и умереть – значит мне, частице любви, вернуться к общему и вечному источнику». Мысли эти показались ему утешительны. Но это были только мысли. Чего то недоставало в них, что то было односторонне личное, умственное – не было очевидности. И было то же беспокойство и неясность. Он заснул.
Он видел во сне, что он лежит в той же комнате, в которой он лежал в действительности, но что он не ранен, а здоров. Много разных лиц, ничтожных, равнодушных, являются перед князем Андреем. Он говорит с ними, спорит о чем то ненужном. Они сбираются ехать куда то. Князь Андрей смутно припоминает, что все это ничтожно и что у него есть другие, важнейшие заботы, но продолжает говорить, удивляя их, какие то пустые, остроумные слова. Понемногу, незаметно все эти лица начинают исчезать, и все заменяется одним вопросом о затворенной двери. Он встает и идет к двери, чтобы задвинуть задвижку и запереть ее. Оттого, что он успеет или не успеет запереть ее, зависит все. Он идет, спешит, ноги его не двигаются, и он знает, что не успеет запереть дверь, но все таки болезненно напрягает все свои силы. И мучительный страх охватывает его. И этот страх есть страх смерти: за дверью стоит оно. Но в то же время как он бессильно неловко подползает к двери, это что то ужасное, с другой стороны уже, надавливая, ломится в нее. Что то не человеческое – смерть – ломится в дверь, и надо удержать ее. Он ухватывается за дверь, напрягает последние усилия – запереть уже нельзя – хоть удержать ее; но силы его слабы, неловки, и, надавливаемая ужасным, дверь отворяется и опять затворяется.
Еще раз оно надавило оттуда. Последние, сверхъестественные усилия тщетны, и обе половинки отворились беззвучно. Оно вошло, и оно есть смерть. И князь Андрей умер.
Но в то же мгновение, как он умер, князь Андрей вспомнил, что он спит, и в то же мгновение, как он умер, он, сделав над собою усилие, проснулся.
«Да, это была смерть. Я умер – я проснулся. Да, смерть – пробуждение!» – вдруг просветлело в его душе, и завеса, скрывавшая до сих пор неведомое, была приподнята перед его душевным взором. Он почувствовал как бы освобождение прежде связанной в нем силы и ту странную легкость, которая с тех пор не оставляла его.
Когда он, очнувшись в холодном поту, зашевелился на диване, Наташа подошла к нему и спросила, что с ним. Он не ответил ей и, не понимая ее, посмотрел на нее странным взглядом.
Это то было то, что случилось с ним за два дня до приезда княжны Марьи. С этого же дня, как говорил доктор, изнурительная лихорадка приняла дурной характер, но Наташа не интересовалась тем, что говорил доктор: она видела эти страшные, более для нее несомненные, нравственные признаки.
С этого дня началось для князя Андрея вместе с пробуждением от сна – пробуждение от жизни. И относительно продолжительности жизни оно не казалось ему более медленно, чем пробуждение от сна относительно продолжительности сновидения.

Ничего не было страшного и резкого в этом, относительно медленном, пробуждении.
Последние дни и часы его прошли обыкновенно и просто. И княжна Марья и Наташа, не отходившие от него, чувствовали это. Они не плакали, не содрогались и последнее время, сами чувствуя это, ходили уже не за ним (его уже не было, он ушел от них), а за самым близким воспоминанием о нем – за его телом. Чувства обеих были так сильны, что на них не действовала внешняя, страшная сторона смерти, и они не находили нужным растравлять свое горе. Они не плакали ни при нем, ни без него, но и никогда не говорили про него между собой. Они чувствовали, что не могли выразить словами того, что они понимали.