Дифференциальный бином
Поделись знанием:
Графиня была приготовлена намеками Анны Михайловны во время обеда. Уйдя к себе, она, сидя на кресле, не спускала глаз с миниатюрного портрета сына, вделанного в табакерке, и слезы навертывались ей на глаза. Анна Михайловна с письмом на цыпочках подошла к комнате графини и остановилась.
– Не входите, – сказала она старому графу, шедшему за ней, – после, – и затворила за собой дверь.
Граф приложил ухо к замку и стал слушать.
Сначала он слышал звуки равнодушных речей, потом один звук голоса Анны Михайловны, говорившей длинную речь, потом вскрик, потом молчание, потом опять оба голоса вместе говорили с радостными интонациями, и потом шаги, и Анна Михайловна отворила ему дверь. На лице Анны Михайловны было гордое выражение оператора, окончившего трудную ампутацию и вводящего публику для того, чтоб она могла оценить его искусство.
– C'est fait! [Дело сделано!] – сказала она графу, торжественным жестом указывая на графиню, которая держала в одной руке табакерку с портретом, в другой – письмо и прижимала губы то к тому, то к другому.
Увидав графа, она протянула к нему руки, обняла его лысую голову и через лысую голову опять посмотрела на письмо и портрет и опять для того, чтобы прижать их к губам, слегка оттолкнула лысую голову. Вера, Наташа, Соня и Петя вошли в комнату, и началось чтение. В письме был кратко описан поход и два сражения, в которых участвовал Николушка, производство в офицеры и сказано, что он целует руки maman и papa, прося их благословения, и целует Веру, Наташу, Петю. Кроме того он кланяется m r Шелингу, и m mе Шос и няне, и, кроме того, просит поцеловать дорогую Соню, которую он всё так же любит и о которой всё так же вспоминает. Услыхав это, Соня покраснела так, что слезы выступили ей на глаза. И, не в силах выдержать обратившиеся на нее взгляды, она побежала в залу, разбежалась, закружилась и, раздув баллоном платье свое, раскрасневшаяся и улыбающаяся, села на пол. Графиня плакала.
В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида
- <math>I = x^m (a+bx^n)^p\;dx,</math>
где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа.
Содержание
Свойства
Выразимость в элементарных функциях
Дифференциальный бином выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:
- <math> p </math> — целое число. Используется подстановка <math> x=t^k </math>, <math> k </math> — общий знаменатель дробей <math> m </math> и <math> n </math>;
- <math> \frac{m+1}{n} </math> — целое число. Используется подстановка <math> a + b x^n = t^s </math>, <math> s </math> — знаменатель дроби <math> p </math>.
- <math> p+\frac{m+1}{n} </math> — целое число. Используется подстановка <math> a x^{-n} + b = t^s </math>, <math> s </math> — знаменатель дроби <math> p </math>.
Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
Дифференциальный бином выражается через неполную бета-функцию:
- <math>I = \frac{1}{n} a^{(m + 1)/n + p} b^{-(m + 1)/n} B_y \left( \frac{m+1}{n}, p - 1 \right),</math>
где <math>y = \frac{b}{a} x^n</math>, а также через гипергеометрическую функцию:
- <math>I = \frac{1}{1+m} a^{(m + 1)/n + p} b^{-(m+1)/n} y^{(m + 1)/n} {}_2F_1 \left( \frac{m + 1}{n}, 2-p; 1+\frac{m+1}{n}; y \right).</math>
История
Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случах была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.
См. также
Напишите отзыв о статье "Дифференциальный бином"
Ссылки
- Дифференциальный бином — статья из Большой советской энциклопедии.
- [planetmath.org/encyclopedia/IntegrationOfDifferentialBinomial.html Integration Of Differential Binomial] (англ.) на сайте PlanetMath.
- [www.sosmath.com/tables/tables.html Tables of indefinite integrals].
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Дифференциальный бином
– Не глупее тебя, матушка, – сказал девятилетний Петя, точно как будто он был старый бригадир.Графиня была приготовлена намеками Анны Михайловны во время обеда. Уйдя к себе, она, сидя на кресле, не спускала глаз с миниатюрного портрета сына, вделанного в табакерке, и слезы навертывались ей на глаза. Анна Михайловна с письмом на цыпочках подошла к комнате графини и остановилась.
– Не входите, – сказала она старому графу, шедшему за ней, – после, – и затворила за собой дверь.
Граф приложил ухо к замку и стал слушать.
Сначала он слышал звуки равнодушных речей, потом один звук голоса Анны Михайловны, говорившей длинную речь, потом вскрик, потом молчание, потом опять оба голоса вместе говорили с радостными интонациями, и потом шаги, и Анна Михайловна отворила ему дверь. На лице Анны Михайловны было гордое выражение оператора, окончившего трудную ампутацию и вводящего публику для того, чтоб она могла оценить его искусство.
– C'est fait! [Дело сделано!] – сказала она графу, торжественным жестом указывая на графиню, которая держала в одной руке табакерку с портретом, в другой – письмо и прижимала губы то к тому, то к другому.
Увидав графа, она протянула к нему руки, обняла его лысую голову и через лысую голову опять посмотрела на письмо и портрет и опять для того, чтобы прижать их к губам, слегка оттолкнула лысую голову. Вера, Наташа, Соня и Петя вошли в комнату, и началось чтение. В письме был кратко описан поход и два сражения, в которых участвовал Николушка, производство в офицеры и сказано, что он целует руки maman и papa, прося их благословения, и целует Веру, Наташу, Петю. Кроме того он кланяется m r Шелингу, и m mе Шос и няне, и, кроме того, просит поцеловать дорогую Соню, которую он всё так же любит и о которой всё так же вспоминает. Услыхав это, Соня покраснела так, что слезы выступили ей на глаза. И, не в силах выдержать обратившиеся на нее взгляды, она побежала в залу, разбежалась, закружилась и, раздув баллоном платье свое, раскрасневшаяся и улыбающаяся, села на пол. Графиня плакала.
