Изометрическая эквивалентность

Два множества <math>A,B \in \mathbb{R}^{n}</math> называются изометрически эквивалентными, если существует движение <math>f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}</math>, переводящее <math>A</math> в <math>B</math>. то есть<math>f(A) = B </math>.

Изометрическая эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств <math>\mathcal P(\mathbb{R}^{n})</math> множества <math>\mathbb{R}^{n}</math> и, в частности, на любом подмножестве <math>X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{n})</math>.

Например, если <math>X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{2})</math> —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то изометрическая эквивалентность разбивает его на четыре семейства классов эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные семейства коник:

•    <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\,=1</math>  — двупараметрическое семейство вещественных эллипсов, <math>0 <b \le a</math>;
•    <math> \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\,=1</math>  — двупараметрическое семействогипербол, <math>0 <b \le a</math>;
•    <math> y^2 = 2px</math>  — однопараматрическое семейство парабол, <math> 0 < p</math>;
•    <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\,= - 1</math>  — двупараметрическое семейство мнимых эллипсов, <math>0 <b \le a</math>.

Другими словами, изометрическая эквивалентность доставляет изометрическую классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости изометрически эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Аффинная эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик

Отрывок, характеризующий Изометрическая эквивалентность

Из за двери слышались равномерные звуки станка. Княжна робко потянула за легко и плавно отворяющуюся дверь и остановилась у входа. Князь работал за станком и, оглянувшись, продолжал свое дело.
Огромный кабинет был наполнен вещами, очевидно, беспрестанно употребляемыми. Большой стол, на котором лежали книги и планы, высокие стеклянные шкафы библиотеки с ключами в дверцах, высокий стол для писания в стоячем положении, на котором лежала открытая тетрадь, токарный станок, с разложенными инструментами и с рассыпанными кругом стружками, – всё выказывало постоянную, разнообразную и порядочную деятельность. По движениям небольшой ноги, обутой в татарский, шитый серебром, сапожок, по твердому налеганию жилистой, сухощавой руки видна была в князе еще упорная и много выдерживающая сила свежей старости. Сделав несколько кругов, он снял ногу с педали станка, обтер стамеску, кинул ее в кожаный карман, приделанный к станку, и, подойдя к столу, подозвал дочь. Он никогда не благословлял своих детей и только, подставив ей щетинистую, еще небритую нынче щеку, сказал, строго и вместе с тем внимательно нежно оглядев ее:
– Здорова?… ну, так садись!
Он взял тетрадь геометрии, писанную его рукой, и подвинул ногой свое кресло.
– На завтра! – сказал он, быстро отыскивая страницу и от параграфа до другого отмечая жестким ногтем.
Княжна пригнулась к столу над тетрадью.
– Постой, письмо тебе, – вдруг сказал старик, доставая из приделанного над столом кармана конверт, надписанный женскою рукой, и кидая его на стол.