Интегральная теорема Коши

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Теорема

Для любой функции <math>f(z)</math>, аналитической в некоторой односвязной области <math>A\subset\mathbb C,</math> и для любой замкнутой кривой <math>\Gamma\subset A</math> справедливо соотношение <math>\oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math>

Доказательство

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма <math>f(z)\,dz</math> замкнута. Пусть теперь <math>\Gamma</math> — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции <math>f(z)</math>, ограничивающий область <math>D</math>. Тогда по теореме Стокса имеем:

<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = \int\limits_{\partial D} f(z)\,dz = \int\limits_D d[f(z)\,dz] = 0 </math>

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также

• Теорема Коши — Пуанкаре

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Отрывок, характеризующий Интегральная теорема Коши

О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.
От Вязьмы французские войска, прежде шедшие тремя колоннами, шли теперь одной кучей. Те признаки беспорядка, которые заметил Пьер на первом привале из Москвы, теперь дошли до последней степени.
Дорога, по которой они шли, с обеих сторон была уложена мертвыми лошадьми; оборванные люди, отсталые от разных команд, беспрестанно переменяясь, то присоединялись, то опять отставали от шедшей колонны.
Несколько раз во время похода бывали фальшивые тревоги, и солдаты конвоя поднимали ружья, стреляли и бежали стремглав, давя друг друга, но потом опять собирались и бранили друг друга за напрасный страх.