Интегральные преобразования
Поделись знанием:
– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
– Tres beau, – говорил доктор, отвечая на вопрос о погоде, – tres beau, princesse, et puis, a Moscou on se croit a la campagne. [прекрасная погода, княжна, и потом Москва так похожа на деревню.]
– N'est ce pas? [Не правда ли?] – сказала княжна, вздыхая. – Так можно ему пить?
Лоррен задумался.
– Он принял лекарство?
– Да.
Доктор посмотрел на брегет.
– Возьмите стакан отварной воды и положите une pincee (он своими тонкими пальцами показал, что значит une pincee) de cremortartari… [щепотку кремортартара…]
– Не пило слушай , – говорил немец доктор адъютанту, – чтопи с третий удар шивь оставался .
– А какой свежий был мужчина! – говорил адъютант. – И кому пойдет это богатство? – прибавил он шопотом.
– Окотник найдутся , – улыбаясь, отвечал немец.
Все опять оглянулись на дверь: она скрипнула, и вторая княжна, сделав питье, показанное Лорреном, понесла его больному. Немец доктор подошел к Лоррену.
– Еще, может, дотянется до завтрашнего утра? – спросил немец, дурно выговаривая по французски.
Лоррен, поджав губы, строго и отрицательно помахал пальцем перед своим носом.
– Сегодня ночью, не позже, – сказал он тихо, с приличною улыбкой самодовольства в том, что ясно умеет понимать и выражать положение больного, и отошел.
Между тем князь Василий отворил дверь в комнату княжны.
В комнате было полутемно; только две лампадки горели перед образами, и хорошо пахло куреньем и цветами. Вся комната была установлена мелкою мебелью шифоньерок, шкапчиков, столиков. Из за ширм виднелись белые покрывала высокой пуховой кровати. Собачка залаяла.
– Ах, это вы, mon cousin?
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
Князь Василий замолчал, и щеки его начинали нервически подергиваться то на одну, то на другую сторону, придавая его лицу неприятное выражение, какое никогда не показывалось на лице князя Василия, когда он бывал в гостиных. Глаза его тоже были не такие, как всегда: то они смотрели нагло шутливо, то испуганно оглядывались.
Княжна, своими сухими, худыми руками придерживая на коленях собачку, внимательно смотрела в глаза князю Василию; но видно было, что она не прервет молчания вопросом, хотя бы ей пришлось молчать до утра.
– Вот видите ли, моя милая княжна и кузина, Катерина Семеновна, – продолжал князь Василий, видимо, не без внутренней борьбы приступая к продолжению своей речи, – в такие минуты, как теперь, обо всём надо подумать. Надо подумать о будущем, о вас… Я вас всех люблю, как своих детей, ты это знаешь.
Княжна так же тускло и неподвижно смотрела на него.
– Наконец, надо подумать и о моем семействе, – сердито отталкивая от себя столик и не глядя на нее, продолжал князь Василий, – ты знаешь, Катишь, что вы, три сестры Мамонтовы, да еще моя жена, мы одни прямые наследники графа. Знаю, знаю, как тебе тяжело говорить и думать о таких вещах. И мне не легче; но, друг мой, мне шестой десяток, надо быть ко всему готовым. Ты знаешь ли, что я послал за Пьером, и что граф, прямо указывая на его портрет, требовал его к себе?
(перенаправлено с «Интегральное преобразование»)
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
- <math> Tf(u) = \int\limits_{S}K(t, u)\, f(t)\, dt</math>,
где функции <math>f, Tf</math> называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства <math>L</math>, при этом функция <math>K</math> называется ядром интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
- <math> f(t) = \int\limits_{S'} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.</math>
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.
Содержание
Таблица преобразований (одномерный случай)
Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами
- <math> Tf(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt</math>,
- <math> f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du</math>,
то:
| Преобразование | Обозначение | <math>K</math> | t1 | t2 | <math>K^{-1}</math> | u1 | u2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Преобразование Фурье | <math>\mathcal{F}</math> | <math>\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> |
| Синус-преобразование Фурье | <math>\mathcal{F}_s</math> | <math>\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> |
| Косинус-преобразование Фурье | <math>\mathcal{F}_c</math> | <math>\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> |
| Преобразование Хартли | <math>\mathcal{H}</math> | <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> |
| Преобразование Меллина | <math>\mathcal{M}</math> | <math>t^{u-1}</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{t^{-u}}{2\pi i}</math> | <math>c\!-\!i\infty</math> | <math>c\!+\!i\infty</math> |
| Двустороннее преобразование Лапласа | <math>\mathcal{B}</math> | <math>e^{-ut}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math> | <math>c\!-\!i\infty</math> | <math>c\!+\!i\infty</math> |
| Преобразование Лапласа | <math>\mathcal{L}</math> | <math>e^{-ut}</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math> | <math>c\!-\!i\infty</math> | <math>c\!+\!i\infty</math> |
| Преобразование Вейерштрасса | <math>\mathcal{W}</math> | <math>\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}</math> | <math>c\!-\!i\infty</math> | <math>c\!+\!i\infty</math> |
| Преобразование Ханкеля | <math>t\,J_\nu(ut)</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>u\,J_\nu(ut)</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | |
| Интегральное преобразование Абеля | <math>\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}</math> | <math>u</math> | <math>\infty</math> | <math>\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}</math> | <math>t</math> | <math>\infty</math> | |
| Преобразование Гильберта | <math>\mathcal{H}il</math> | <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> | <math>-\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math> | <math>-\infty</math> | <math>\infty</math> |
| Ядро Пуассона | <math>\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}</math> | <math>0</math> | <math>2\pi</math> | ||||
| Идентичное преобразование | <math>\delta (u-t)</math> | <math>t_1<u</math> | <math>t_2>u</math> | <math>\delta (t-u)</math> | <math>u_1\!<\!t</math> | <math>u_2\!>\!t</math> |
Список интегральных преобразований
- Интегральное преобразование Абеля
- Преобразования Бесселя
- Преобразование Бушмана
- Преобразование Бэйтмена
- Преобразование Вейерштрасса
- Преобразование Ханкеля
- Преобразование Гегенбауэра
- Преобразование Гильберта
- Преобразование Конторовича — Лебедева
- Одностороннее преобразование Лапласа
- Двустороннее преобразование Лапласа
- Преобразование Мейера
- Преобразование Мелера — Фока
- Преобразование Меллина
- Преобразование Нерейна
- Преобразование Радона
- Преобразование Стилтьеса
- Преобразование Фурье
- Преобразование Хартли
- Преобразование Лагерра
Напишите отзыв о статье "Интегральные преобразования"
Литература
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.
См. также
Ссылки
- [eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-inttrans.htm Таблицы интегральных преобразований] на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Отрывок, характеризующий Интегральные преобразования
– Это кто же? сам главнокомандующий был? – спрашивали в другом конце комнаты. – Какой моложавый!…– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
– Tres beau, – говорил доктор, отвечая на вопрос о погоде, – tres beau, princesse, et puis, a Moscou on se croit a la campagne. [прекрасная погода, княжна, и потом Москва так похожа на деревню.]
– N'est ce pas? [Не правда ли?] – сказала княжна, вздыхая. – Так можно ему пить?
Лоррен задумался.
– Он принял лекарство?
– Да.
Доктор посмотрел на брегет.
– Возьмите стакан отварной воды и положите une pincee (он своими тонкими пальцами показал, что значит une pincee) de cremortartari… [щепотку кремортартара…]
– Не пило слушай , – говорил немец доктор адъютанту, – чтопи с третий удар шивь оставался .
– А какой свежий был мужчина! – говорил адъютант. – И кому пойдет это богатство? – прибавил он шопотом.
– Окотник найдутся , – улыбаясь, отвечал немец.
Все опять оглянулись на дверь: она скрипнула, и вторая княжна, сделав питье, показанное Лорреном, понесла его больному. Немец доктор подошел к Лоррену.
– Еще, может, дотянется до завтрашнего утра? – спросил немец, дурно выговаривая по французски.
Лоррен, поджав губы, строго и отрицательно помахал пальцем перед своим носом.
– Сегодня ночью, не позже, – сказал он тихо, с приличною улыбкой самодовольства в том, что ясно умеет понимать и выражать положение больного, и отошел.
Между тем князь Василий отворил дверь в комнату княжны.
В комнате было полутемно; только две лампадки горели перед образами, и хорошо пахло куреньем и цветами. Вся комната была установлена мелкою мебелью шифоньерок, шкапчиков, столиков. Из за ширм виднелись белые покрывала высокой пуховой кровати. Собачка залаяла.
– Ах, это вы, mon cousin?
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
Князь Василий замолчал, и щеки его начинали нервически подергиваться то на одну, то на другую сторону, придавая его лицу неприятное выражение, какое никогда не показывалось на лице князя Василия, когда он бывал в гостиных. Глаза его тоже были не такие, как всегда: то они смотрели нагло шутливо, то испуганно оглядывались.
Княжна, своими сухими, худыми руками придерживая на коленях собачку, внимательно смотрела в глаза князю Василию; но видно было, что она не прервет молчания вопросом, хотя бы ей пришлось молчать до утра.
– Вот видите ли, моя милая княжна и кузина, Катерина Семеновна, – продолжал князь Василий, видимо, не без внутренней борьбы приступая к продолжению своей речи, – в такие минуты, как теперь, обо всём надо подумать. Надо подумать о будущем, о вас… Я вас всех люблю, как своих детей, ты это знаешь.
Княжна так же тускло и неподвижно смотрела на него.
– Наконец, надо подумать и о моем семействе, – сердито отталкивая от себя столик и не глядя на нее, продолжал князь Василий, – ты знаешь, Катишь, что вы, три сестры Мамонтовы, да еще моя жена, мы одни прямые наследники графа. Знаю, знаю, как тебе тяжело говорить и думать о таких вещах. И мне не легче; но, друг мой, мне шестой десяток, надо быть ко всему готовым. Ты знаешь ли, что я послал за Пьером, и что граф, прямо указывая на его портрет, требовал его к себе?
