Квадратное треугольное число
В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.
Квадратные треугольные числа образуют последовательность:
- 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … (последовательность A001110 в OEIS).
Содержание
Формулы
Будем записывать Nk для k-ого квадратного треугольного числа, sk и tk для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда
- <math>N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}.</math>
Последовательности Nk, sk и tk присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).
В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу[1][2]:12—13
- <math>N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.</math>
Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:
- <math>\begin{align}
N_k &= {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2 = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{4k}-2 + ( 1 - \sqrt{2} )^{4k} \right) \\ &= {1 \over 32} \left( ( 17 + 12\sqrt{2} )^k -2 + ( 17 - 12\sqrt{2} )^k \right). \end{align}</math> Соответствующие явные формулы для sk и tk[2]:13:
- <math> s_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} </math>
и
- <math> t_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k + (3 - 2\sqrt{2})^k - 2}{4}. </math>
Уравнение Пелля
Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом[3]:
любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что
- <math>\frac{t(t+1)}{2} = s^2.</math>
Немного алгебры, и мы получим
- <math>(2t+1)^2=8s^2+1,</math>
подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение
- <math>x^2 - 2y^2 =1</math>,
которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля Pk[4]
- <math>x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k};</math>
и потому все решения задаются формулами
- <math> s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2.</math>
Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.
Рекуррентные отношения
Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем[5]:(12)
- <math>N_k = 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2, N_0 = 0, N_1 = 1.</math>
- <math>N_k = \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2, N_0 = 1, N_1 = 36.</math>
- <math>s_k = 6s_{k-1} - s_{k-2}, s_0 = 0, s_1 = 1;</math>
- <math>t_k = 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2, t_0 = 0, t_1 = 1.</math>
Другие свойства
Все квадратные треугольные числа имеют вид b2c2, где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2[6].
А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно[7]:
Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:
- <math>\frac{\bigl( 4n(n+1) \bigr) \bigl( 4n(n+1)+1 \bigr)}{2} = 2^2 \, \frac{n(n+1)}{2} \,(2n+1)^2.</math>
И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трех квадратов: 2^2 (очевидно), (n(n+1))/2 (n-ое треугольное число – по предположению является квадратом) и (2n+1)^2 (очевидно).
Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет[8]:
- <math>\frac{1+z}{(1-z)(z^2 - 34z + 1)} = 1 + 36z + 1225 z^2 + \cdots.</math>
Численные значения
С увеличением k, отношение tk / sk стремится к <math>\sqrt{2} \approx 1.41421</math>, а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к <math>17+12\sqrt{2} \approx 33.97056</math>.
- <math> \begin{array}{rrrrll}
k & N_k & s_k & t_k & t_k/s_k & N_k/N_{k-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 2 & 36 & 6 & 8 & 1.33333 & 36\\ 3 & 1\,225 & 35 & 49 & 1.4 & 34.02778\\ 4 & 41\,616 & 204 & 288 & 1.41176 & 33.97224\\ 5 & 1\,413\,721 & 1\,189 & 1\,681 & 1.41379 & 33.97061\\ 6 & 48\,024\,900 & 6\,930 & 9\,800 & 1.41414 & 33.97056\\ 7 & 1\,631\,432\,881 & 40\,391 & 57\,121 & 1.41420 & 33.97056\\ \end{array} </math>
Напишите отзыв о статье "Квадратное треугольное число"
Примечания
- ↑ 1 2 History of the Theory of Numbers. — Providence: American Mathematical Society, 1999. — Vol. 2. — P. 16. — ISBN 978-0-8218-1935-7.
- ↑ 1 2 3 Euler, Leonhard (1813). «[math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)]» (Latin). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4: 3—17. Проверено 2009-05-11. “According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”
- ↑ [books.google.com/?id=FtoFImV5BKMC&pg=PA16 Pell's Equation]. — New York: Springer, 2003. — P. 16—17. — ISBN 978-0-387-95529-2.
- ↑ An Introduction to the Theory of Numbers. — 5th. — Oxford University Press, 1979. — P. 210. — ISBN 0-19-853171-0.
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SquareTriangularNumber.html Square Triangular Number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Mathematical Recreations and Essays. — New York: Dover Publications, 1987. — P. 59. — ISBN 978-0-486-25357-2.
- ↑ Pietenpol, J. L.; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M Warten (February 1962). «Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 69 (2): 168—169.
- ↑ Plouffe, Simon [www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/FonctionsGeneratrices.pdf 1031 Generating Functions] (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (August 1992). Проверено 11 мая 2009. [www.webcitation.org/6EEFLpSDH Архивировано из первоисточника 6 февраля 2013].
Внешние ссылки
- [www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml Triangular numbers that are also square] at cut-the-knot
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SquareTriangularNumber.html Square Triangular Number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- [opinionator.blogs.nytimes.com/2012/01/04/remembering-michael-dummett/ Michael Dummett's solution]
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Квадратное треугольное число
– Да что? – сказал он Денисову, – не дойдет дело до драки. Вот увидишь, назад уйдем.– Чог'т их знает, что делают – проворчал Денисов. – А! Г'остов! – крикнул он юнкеру, заметив его веселое лицо. – Ну, дождался.
И он улыбнулся одобрительно, видимо радуясь на юнкера.
Ростов почувствовал себя совершенно счастливым. В это время начальник показался на мосту. Денисов поскакал к нему.
– Ваше пг'евосходительство! позвольте атаковать! я их опг'окину.
– Какие тут атаки, – сказал начальник скучливым голосом, морщась, как от докучливой мухи. – И зачем вы тут стоите? Видите, фланкеры отступают. Ведите назад эскадрон.
Эскадрон перешел мост и вышел из под выстрелов, не потеряв ни одного человека. Вслед за ним перешел и второй эскадрон, бывший в цепи, и последние казаки очистили ту сторону.
Два эскадрона павлоградцев, перейдя мост, один за другим, пошли назад на гору. Полковой командир Карл Богданович Шуберт подъехал к эскадрону Денисова и ехал шагом недалеко от Ростова, не обращая на него никакого внимания, несмотря на то, что после бывшего столкновения за Телянина, они виделись теперь в первый раз. Ростов, чувствуя себя во фронте во власти человека, перед которым он теперь считал себя виноватым, не спускал глаз с атлетической спины, белокурого затылка и красной шеи полкового командира. Ростову то казалось, что Богданыч только притворяется невнимательным, и что вся цель его теперь состоит в том, чтоб испытать храбрость юнкера, и он выпрямлялся и весело оглядывался; то ему казалось, что Богданыч нарочно едет близко, чтобы показать Ростову свою храбрость. То ему думалось, что враг его теперь нарочно пошлет эскадрон в отчаянную атаку, чтобы наказать его, Ростова. То думалось, что после атаки он подойдет к нему и великодушно протянет ему, раненому, руку примирения.
Знакомая павлоградцам, с высокоподнятыми плечами, фигура Жеркова (он недавно выбыл из их полка) подъехала к полковому командиру. Жерков, после своего изгнания из главного штаба, не остался в полку, говоря, что он не дурак во фронте лямку тянуть, когда он при штабе, ничего не делая, получит наград больше, и умел пристроиться ординарцем к князю Багратиону. Он приехал к своему бывшему начальнику с приказанием от начальника ариергарда.
– Полковник, – сказал он с своею мрачною серьезностью, обращаясь ко врагу Ростова и оглядывая товарищей, – велено остановиться, мост зажечь.
– Кто велено? – угрюмо спросил полковник.
– Уж я и не знаю, полковник, кто велено , – серьезно отвечал корнет, – но только мне князь приказал: «Поезжай и скажи полковнику, чтобы гусары вернулись скорей и зажгли бы мост».
Вслед за Жерковым к гусарскому полковнику подъехал свитский офицер с тем же приказанием. Вслед за свитским офицером на казачьей лошади, которая насилу несла его галопом, подъехал толстый Несвицкий.
– Как же, полковник, – кричал он еще на езде, – я вам говорил мост зажечь, а теперь кто то переврал; там все с ума сходят, ничего не разберешь.
Полковник неторопливо остановил полк и обратился к Несвицкому:
– Вы мне говорили про горючие вещества, – сказал он, – а про то, чтобы зажигать, вы мне ничего не говорили.
– Да как же, батюшка, – заговорил, остановившись, Несвицкий, снимая фуражку и расправляя пухлой рукой мокрые от пота волосы, – как же не говорил, что мост зажечь, когда горючие вещества положили?
– Я вам не «батюшка», господин штаб офицер, а вы мне не говорили, чтоб мост зажигайт! Я служба знаю, и мне в привычка приказание строго исполняйт. Вы сказали, мост зажгут, а кто зажгут, я святым духом не могу знайт…
– Ну, вот всегда так, – махнув рукой, сказал Несвицкий. – Ты как здесь? – обратился он к Жеркову.
– Да за тем же. Однако ты отсырел, дай я тебя выжму.
– Вы сказали, господин штаб офицер, – продолжал полковник обиженным тоном…
– Полковник, – перебил свитский офицер, – надо торопиться, а то неприятель пододвинет орудия на картечный выстрел.
Полковник молча посмотрел на свитского офицера, на толстого штаб офицера, на Жеркова и нахмурился.
– Я буду мост зажигайт, – сказал он торжественным тоном, как будто бы выражал этим, что, несмотря на все делаемые ему неприятности, он всё таки сделает то, что должно.
Ударив своими длинными мускулистыми ногами лошадь, как будто она была во всем виновата, полковник выдвинулся вперед к 2 му эскадрону, тому самому, в котором служил Ростов под командою Денисова, скомандовал вернуться назад к мосту.
«Ну, так и есть, – подумал Ростов, – он хочет испытать меня! – Сердце его сжалось, и кровь бросилась к лицу. – Пускай посмотрит, трус ли я» – подумал он.
Опять на всех веселых лицах людей эскадрона появилась та серьезная черта, которая была на них в то время, как они стояли под ядрами. Ростов, не спуская глаз, смотрел на своего врага, полкового командира, желая найти на его лице подтверждение своих догадок; но полковник ни разу не взглянул на Ростова, а смотрел, как всегда во фронте, строго и торжественно. Послышалась команда.
– Живо! Живо! – проговорило около него несколько голосов.
Цепляясь саблями за поводья, гремя шпорами и торопясь, слезали гусары, сами не зная, что они будут делать. Гусары крестились. Ростов уже не смотрел на полкового командира, – ему некогда было. Он боялся, с замиранием сердца боялся, как бы ему не отстать от гусар. Рука его дрожала, когда он передавал лошадь коноводу, и он чувствовал, как со стуком приливает кровь к его сердцу. Денисов, заваливаясь назад и крича что то, проехал мимо него. Ростов ничего не видел, кроме бежавших вокруг него гусар, цеплявшихся шпорами и бренчавших саблями.
