Конформно-евклидова модель
Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.
Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.
Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.
Содержание
История
Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы.[2] Метрика в конформно-евклидовой модели появляется уже в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.
Модели в круге и в шаре
За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей <math>(a,\;b,\;b')</math>, перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Метрикой <math>ds</math> плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:
- <math>ds^2=\frac{4}{(1-(x^2+y^2))^2}(dx^2+dy^2),</math>
где <math>x</math> и <math>y</math> — оси абсцисс и ординат, соответственно[3].
Аналогично, для Конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.
Модели на полуплоскости и в полупространстве
За плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.
Метрика <math>ds</math> плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид: <math>ds^2=\frac{1}{v^2}(du^2+dv^2)</math>[3], где u и v — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.
Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.
См. также
- Теорема Пика — инвариантная форма леммы Шварца, использующая расстояния в конформно-евклидовой модели.
Напишите отзыв о статье "Конформно-евклидова модель"
Примечания
- ↑ [www.emis.de/journals/FPM/ps/k05/k051/k05111.pdf Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики]
- ↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
перевод: Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны. // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365. - ↑ 1 2 [web.archive.org/web/20040825112400/www.pdmi.ras.ru/~sbuyalo/asymp.pdf Буяло С. В. Курс лекций «Асимптотическая геометрия метрических пространств» весна 2004.]
Литература
- [web.archive.org/web/20070927204942/dragon.bas-net.by/bgl5/chernikov.pdf Черников Н. А. Преобразование Боголюбова и планиметрия Лобачевского. Раздел 4, сравнение двух моделей Пуанкаре.] (недоступная ссылка с 18-05-2013 (3996 дней) — история)
- [kvant.mccme.ru/1984/06/model_puankare.htm Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6.]
Отрывок, характеризующий Конформно-евклидова модель
Русская армия управлялась Кутузовым с его штабом и государем из Петербурга. В Петербурге, еще до получения известия об оставлении Москвы, был составлен подробный план всей войны и прислан Кутузову для руководства. Несмотря на то, что план этот был составлен в предположении того, что Москва еще в наших руках, план этот был одобрен штабом и принят к исполнению. Кутузов писал только, что дальние диверсии всегда трудно исполнимы. И для разрешения встречавшихся трудностей присылались новые наставления и лица, долженствовавшие следить за его действиями и доносить о них.
Кроме того, теперь в русской армии преобразовался весь штаб. Замещались места убитого Багратиона и обиженного, удалившегося Барклая. Весьма серьезно обдумывали, что будет лучше: А. поместить на место Б., а Б. на место Д., или, напротив, Д. на место А. и т. д., как будто что нибудь, кроме удовольствия А. и Б., могло зависеть от этого.
В штабе армии, по случаю враждебности Кутузова с своим начальником штаба, Бенигсеном, и присутствия доверенных лиц государя и этих перемещений, шла более, чем обыкновенно, сложная игра партий: А. подкапывался под Б., Д. под С. и т. д., во всех возможных перемещениях и сочетаниях. При всех этих подкапываниях предметом интриг большей частью было то военное дело, которым думали руководить все эти люди; но это военное дело шло независимо от них, именно так, как оно должно было идти, то есть никогда не совпадая с тем, что придумывали люди, а вытекая из сущности отношения масс. Все эти придумыванья, скрещиваясь, перепутываясь, представляли в высших сферах только верное отражение того, что должно было совершиться.
«Князь Михаил Иларионович! – писал государь от 2 го октября в письме, полученном после Тарутинского сражения. – С 2 го сентября Москва в руках неприятельских. Последние ваши рапорты от 20 го; и в течение всего сего времени не только что ничего не предпринято для действия противу неприятеля и освобождения первопрестольной столицы, но даже, по последним рапортам вашим, вы еще отступили назад. Серпухов уже занят отрядом неприятельским, и Тула, с знаменитым и столь для армии необходимым своим заводом, в опасности. По рапортам от генерала Винцингероде вижу я, что неприятельский 10000 й корпус подвигается по Петербургской дороге. Другой, в нескольких тысячах, также подается к Дмитрову. Третий подвинулся вперед по Владимирской дороге. Четвертый, довольно значительный, стоит между Рузою и Можайском. Наполеон же сам по 25 е число находился в Москве. По всем сим сведениям, когда неприятель сильными отрядами раздробил свои силы, когда Наполеон еще в Москве сам, с своею гвардией, возможно ли, чтобы силы неприятельские, находящиеся перед вами, были значительны и не позволяли вам действовать наступательно? С вероятностию, напротив того, должно полагать, что он вас преследует отрядами или, по крайней мере, корпусом, гораздо слабее армии, вам вверенной. Казалось, что, пользуясь сими обстоятельствами, могли бы вы с выгодою атаковать неприятеля слабее вас и истребить оного или, по меньшей мере, заставя его отступить, сохранить в наших руках знатную часть губерний, ныне неприятелем занимаемых, и тем самым отвратить опасность от Тулы и прочих внутренних наших городов. На вашей ответственности останется, если неприятель в состоянии будет отрядить значительный корпус на Петербург для угрожания сей столице, в которой не могло остаться много войска, ибо с вверенною вам армиею, действуя с решительностию и деятельностию, вы имеете все средства отвратить сие новое несчастие. Вспомните, что вы еще обязаны ответом оскорбленному отечеству в потере Москвы. Вы имели опыты моей готовности вас награждать. Сия готовность не ослабнет во мне, но я и Россия вправе ожидать с вашей стороны всего усердия, твердости и успехов, которые ум ваш, воинские таланты ваши и храбрость войск, вами предводительствуемых, нам предвещают».
Но в то время как письмо это, доказывающее то, что существенное отношение сил уже отражалось и в Петербурге, было в дороге, Кутузов не мог уже удержать командуемую им армию от наступления, и сражение уже было дано.
2 го октября казак Шаповалов, находясь в разъезде, убил из ружья одного и подстрелил другого зайца. Гоняясь за подстреленным зайцем, Шаповалов забрел далеко в лес и наткнулся на левый фланг армии Мюрата, стоящий без всяких предосторожностей. Казак, смеясь, рассказал товарищам, как он чуть не попался французам. Хорунжий, услыхав этот рассказ, сообщил его командиру.
