Проективная модель

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Проективная модель (называемая также Модель Клейна и модель Бельтрами — Клейна) — модель геометрии Лобачевского, предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами. Немецкий математик Феликс Клейн разработал её независимо.

С её помощью доказывается непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.





История

Эта модель была предложена Бельтрами, наряду с моделью Пуанкаре и моделью псевдосферы[1]

Ещё раньше, в 1859 г. эту модель построил Кэли. Но он рассматривал её лишь как некоторую конструкцию в проективной геометрии и, видимо, не заметил никакой связи её с неевклидовой геометрией. В 1869 г. с его работой познакомился молодой (20-летний) Клейн. Он вспоминает, что в 1870 г. сделал доклад о работах Кэли на семинаре Вейерштрасса и, как он пишет, «закончил его вопросом, не существует ли связи между идеями Кэли и Лобачевского. Я получил ответ, что это — две далеко отстоящие по идее системы». Как говорит Клейн, «я позволил переубедить себя этими возражениями и отложил в сторону уже созревшую мысль». Однако в 1871 г. он к этой мысли вернулся, оформил её математически и опубликовал[2].

Модель

Плоскость Лобачевского представлена в этой модели внутренностью некоторого круга («абсолюта»). Точки абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского — это хорда абсолюта, соединяющая две идеальные точки.

Движениями геометрии Лобачевского в модели Клейна объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие внутренность абсолюта в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки <math>A</math> и <math>B</math> лежат на хорде <math>PQ</math> так, что порядок их следования на прямой <math>PABQ</math>, тогда расстояние <math>\ell(A,B)</math> в плоскости Лобачевского определяется как

<math>\ell(A,B)=\frac{R}{2} \, {\rm ln}(PQ;BA)</math>

где <math>(PQ;BA)</math> обозначает двойное отношение, <math>R</math> — радиус кривизны плоскости Лобачевского.

Любой факт евклидовой геометрии, описанный на таком языке, представляет некоторый факт геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение неевклидовой геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии на плоскости, относящееся к фигурам внутри круга, пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку <math>O</math>, не лежащую на данной хорде <math>a</math>, проходит сколько угодно не пересекающих её хорд.

Напишите отзыв о статье "Проективная модель"

Литература

  • Клейн Ф. [osnovanija.narod.ru/geometr/253.djvu О так называемой неевклидовой геометрии.] В сборнике: Основания геометрии, М., ГИТТЛ, 1956.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания

  1. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII, пар. 2, — Физматлит, Москва, 2009.

Отрывок, характеризующий Проективная модель

Княжне, видимо, досадно было, что не на кого было сердиться. Она, что то шепча, присела на стул.
– Но вам это неправильно доносят, – сказал Пьер. – В городе все тихо, и опасности никакой нет. Вот я сейчас читал… – Пьер показал княжне афишки. – Граф пишет, что он жизнью отвечает, что неприятель не будет в Москве.
– Ах, этот ваш граф, – с злобой заговорила княжна, – это лицемер, злодей, который сам настроил народ бунтовать. Разве не он писал в этих дурацких афишах, что какой бы там ни был, тащи его за хохол на съезжую (и как глупо)! Кто возьмет, говорит, тому и честь и слава. Вот и долюбезничался. Варвара Ивановна говорила, что чуть не убил народ ее за то, что она по французски заговорила…
– Да ведь это так… Вы всё к сердцу очень принимаете, – сказал Пьер и стал раскладывать пасьянс.
Несмотря на то, что пасьянс сошелся, Пьер не поехал в армию, а остался в опустевшей Москве, все в той же тревоге, нерешимости, в страхе и вместе в радости ожидая чего то ужасного.
На другой день княжна к вечеру уехала, и к Пьеру приехал его главноуправляющий с известием, что требуемых им денег для обмундирования полка нельзя достать, ежели не продать одно имение. Главноуправляющий вообще представлял Пьеру, что все эти затеи полка должны были разорить его. Пьер с трудом скрывал улыбку, слушая слова управляющего.
– Ну, продайте, – говорил он. – Что ж делать, я не могу отказаться теперь!
Чем хуже было положение всяких дел, и в особенности его дел, тем Пьеру было приятнее, тем очевиднее было, что катастрофа, которой он ждал, приближается. Уже никого почти из знакомых Пьера не было в городе. Жюли уехала, княжна Марья уехала. Из близких знакомых одни Ростовы оставались; но к ним Пьер не ездил.
В этот день Пьер, для того чтобы развлечься, поехал в село Воронцово смотреть большой воздушный шар, который строился Леппихом для погибели врага, и пробный шар, который должен был быть пущен завтра. Шар этот был еще не готов; но, как узнал Пьер, он строился по желанию государя. Государь писал графу Растопчину об этом шаре следующее:
«Aussitot que Leppich sera pret, composez lui un equipage pour sa nacelle d'hommes surs et intelligents et depechez un courrier au general Koutousoff pour l'en prevenir. Je l'ai instruit de la chose.
Recommandez, je vous prie, a Leppich d'etre bien attentif sur l'endroit ou il descendra la premiere fois, pour ne pas se tromper et ne pas tomber dans les mains de l'ennemi. Il est indispensable qu'il combine ses mouvements avec le general en chef».
[Только что Леппих будет готов, составьте экипаж для его лодки из верных и умных людей и пошлите курьера к генералу Кутузову, чтобы предупредить его.
Я сообщил ему об этом. Внушите, пожалуйста, Леппиху, чтобы он обратил хорошенько внимание на то место, где он спустится в первый раз, чтобы не ошибиться и не попасть в руки врага. Необходимо, чтоб он соображал свои движения с движениями главнокомандующего.]
Возвращаясь домой из Воронцова и проезжая по Болотной площади, Пьер увидал толпу у Лобного места, остановился и слез с дрожек. Это была экзекуция французского повара, обвиненного в шпионстве. Экзекуция только что кончилась, и палач отвязывал от кобылы жалостно стонавшего толстого человека с рыжими бакенбардами, в синих чулках и зеленом камзоле. Другой преступник, худенький и бледный, стоял тут же. Оба, судя по лицам, были французы. С испуганно болезненным видом, подобным тому, который имел худой француз, Пьер протолкался сквозь толпу.