Псевдосфера
Псевдосфе́ра (поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.
Содержание
История
Впервые исследована Миндингом в 1839 — 1840 гг. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и Конформно-евклидовой моделью.
Характеристики
Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями
то параметрическими уравнениями псевдосферы будут
- x = a · sin u · cos v,
- y = a · sin u · sin v,
- z = a · (ln tg(u/2) + cos u).
- <math>ds^2=a^2\operatorname{ctg}^2u \,du^2+a^2\sin^2u \,dv^2</math>
- <math>\phi _2 = a(-\operatorname{ctg} u\, du^2+\sin u\cos u \,dv^2)</math>
Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².
Источники
- [www.pm298.ru/spec28.shtml Псевдосфера. — Прикладная математика]
- Псевдосфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.</span>
Напишите отзыв о статье "Псевдосфера"
Литература
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М., 2000.
- Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М., 1982.
Отрывок, характеризующий Псевдосфера
– Ну, вот всегда так, – махнув рукой, сказал Несвицкий. – Ты как здесь? – обратился он к Жеркову.– Да за тем же. Однако ты отсырел, дай я тебя выжму.
– Вы сказали, господин штаб офицер, – продолжал полковник обиженным тоном…
– Полковник, – перебил свитский офицер, – надо торопиться, а то неприятель пододвинет орудия на картечный выстрел.
Полковник молча посмотрел на свитского офицера, на толстого штаб офицера, на Жеркова и нахмурился.
– Я буду мост зажигайт, – сказал он торжественным тоном, как будто бы выражал этим, что, несмотря на все делаемые ему неприятности, он всё таки сделает то, что должно.
Ударив своими длинными мускулистыми ногами лошадь, как будто она была во всем виновата, полковник выдвинулся вперед к 2 му эскадрону, тому самому, в котором служил Ростов под командою Денисова, скомандовал вернуться назад к мосту.
«Ну, так и есть, – подумал Ростов, – он хочет испытать меня! – Сердце его сжалось, и кровь бросилась к лицу. – Пускай посмотрит, трус ли я» – подумал он.
Опять на всех веселых лицах людей эскадрона появилась та серьезная черта, которая была на них в то время, как они стояли под ядрами. Ростов, не спуская глаз, смотрел на своего врага, полкового командира, желая найти на его лице подтверждение своих догадок; но полковник ни разу не взглянул на Ростова, а смотрел, как всегда во фронте, строго и торжественно. Послышалась команда.
– Живо! Живо! – проговорило около него несколько голосов.
Цепляясь саблями за поводья, гремя шпорами и торопясь, слезали гусары, сами не зная, что они будут делать. Гусары крестились. Ростов уже не смотрел на полкового командира, – ему некогда было. Он боялся, с замиранием сердца боялся, как бы ему не отстать от гусар. Рука его дрожала, когда он передавал лошадь коноводу, и он чувствовал, как со стуком приливает кровь к его сердцу. Денисов, заваливаясь назад и крича что то, проехал мимо него. Ростов ничего не видел, кроме бежавших вокруг него гусар, цеплявшихся шпорами и бренчавших саблями.
