Кривизна Гаусса

Для термина «кривизна» см. также другие значения.

Гауссова кривизна — мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

Определение

Кривизна Гаусса для двумерной поверхности

Обозначим нормальные кривизны в главных направлениях (главные кривизны) в рассматриваемой точке поверхности <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math>. Величина:

<math>K=\kappa_1\kappa_2</math>

называется гауссовой кривизной, полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны, который подразумевает результат свёртки тензора кривизны; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику поверхности, и поэтому она является объектом внутренней геометрии (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна <math>\frac{1}{R^2}</math>. Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера.

Кривизна Гаусса для гиперповерхности

Кривизна n-мерной гиперповерхности в точке полностью описывается её главными кривизнами <math>k^{(1)}, k^{(2)}, \dots, k^{(n)}</math> и соответствующими главными направлениями.

Рассмотрим (с точностью до знака) симметрические многочлены, составленные из чисел

<math>(1) \qquad k^{(1)}, k^{(2)}, \dots, k^{(n)} :</math>

<math>

(2) \qquad \left\{\begin{array}{rcl} K^{[1]} &=& - (k^{(1)} + k^{(2)} + \dots + k^{(n)}) = - \sum\limits_{i} k^{(i)} \\ K^{[2]} &=& k^{(1)} k^{(2)} + k^{(1)} k^{(3)} + \dots + k^{(n-1)} k^{(n)} = \sum\limits_{i < j} k^{(i)} k^{(j)} \\ \cdots &\cdots& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ K^{[n]} &=& (-1)^n k^{(1)} k^{(2)} \cdots k^{(n)} \\ \end{array}\right.</math>

Назовем вышеприведенные величины кривизнами Гаусса соответствующей степени. Общая формула кривизны Гаусса степени m запишется так:

<math>(3) \qquad K^{[m]} = \sum_{i_1 < i_2 < \dots < i_m} k^{(i_1)} k^{(i_2)} \cdots k^{(i_m)}</math>

Кривизны Гаусса являются коэффициентами характеристического многочлена для матрицы тензора полной кривизны гиперповерхности:

<math>(4) \qquad \det(\lambda \delta^i_j - b^i_j) = \lambda^n + K^{[1]} \lambda^{n-1} + \dots + K^{[n-1]} \lambda + K^{[n]}</math>

Тензорная формула для кривизны Гаусса

Формула (3) определяет кривизну Гаусса через собственные числа тензора полной кривизны гиперповерхности <math>b_{ij}</math>. Попробуем выразить эти величины через компоненты самого тензора <math>b_{ij}</math> в любой системе координат. Для вычисления определителя произвольного тензора второго ранга мы имеем такую формулу с использованием тензора метрической матрешки (см. Абсолютно антисимметричный единичный тензор):

<math>(5) \qquad \det(a^i_j) = {1 \over n!} g^{i_1 i_2 \dots i_n}_{j_1 j_2 \dots j_n} a^{j_1}_{i_1} a^{j_2}_{i_2} \cdots a^{j_n}_{i_n}</math>

Подставим в эту формулу <math>a^i_j = \lambda \delta^i_j - b^i_j</math>, чтобы вычислить левое выражение формулы (4), тогда имеем:

<math>(6) \qquad n! \det (\lambda \delta^i_j - b^i_j) = g^{i_1 i_2 \dots i_n}_{j_1 j_2 \dots j_n} (\lambda \delta^{j_1}_{i_1} - b^{j_1}_{i_1}) \cdots (\lambda \delta^{j_n}_{i_n} - b^{j_n}_{i_n})</math>

Раскроем скобки в формуле (6). Поскольку тензор метрической матрешки <math>g^{i_1 i_2 \dots i_n}_{j_1 j_2 \dots j_n}</math> не меняется при синхронной перестановке верхних и нижних индексов, то все слагаемые при одинаковой степени <math>\lambda^m</math> будут одинаковыми (их количество равно биномиальному коэффициенту <math>C^m_n</math>), и мы получаем:

<math>(7) \qquad n! \det (\lambda \delta^i_j - b^i_j) = \lambda^n g^{s_1 s_2 \dots s_n}_{s_1 s_2 \dots s_n} - C^1_n \lambda^{n-1} g^{i s_2 \dots s_n}_{j s_2 \dots s_n} b^j_i + C^2_n \lambda^{n-2} g^{i_1 i_2 \dots s_n}_{j_1 j_2 \dots s_n} b^{j_1}_{i_1} b^{j_2}_{i_2} - \dots </math>

Поскольку последовательные свертки тензора метрической матрешки равны:

<math>(8) \qquad g^{i_1 i_2 \dots i_m s_{m+1} s_{m+2} \dots s_n}_{j_1 j_2 \dots j_m s_{m+1} s_{m_2} \dots s_n} =

(n-m)! \, g^{i_1 \dots i_m}_{j_1 \dots j_m}</math>

То из формулы (7) и формулы для биномиальных коэффициентов <math>C^m_n = {n! \over m! (n-m)!}</math> находим такую формулу для характеристического многочлена (разделив обе стороны уравнения (7) на <math>n!</math>):

<math>(9) \qquad \det (\lambda \delta^i_j - b^i_j) = \lambda^n - {\lambda^{n-1} \over 1!} g^i_j b^j_i +

{\lambda^{n-2} \over 2!} g^{i_1 i_2}_{j_1 j_2} b^{j_1}_{i_1} b^{j_2}_{i_2} - \dots </math>

Сравнивая формулы (9) и (4), находим такую формулу для кривизны Гаусса:

<math>(10) \qquad K^{[m]} = {(-1)^m \over m!} g^{i_1 i_2 \dots i_m}_{j_1 j_2 \dots j_m} b^{j_1}_{i_1} b^{j_2}_{i_2} \dots b^{j_m}_{i_m} </math>

Выражение через тензор Римана

Для скалярной кривизны гиперповерхности мы имеем такую формулу

<math>(11) \qquad R = g^{ik} g^{jl} R_{ijkl} = 2 \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 K^{[2]}</math>

Чтобы обобщить эту формулу для более высоких степеней, попробуем заменить произведение двух метрических тензоров в формуле (11) на тензор метрической матрешки четвертого ранга:

<math>(12) \qquad g^{ijkl} R_{ijkl} = \begin{vmatrix} g^{ik} & g^{il} \\ g^{jk} & g^{jl} \end{vmatrix} R_{ijkl} =

(g^{ik} g^{jl} - g^{il} g^{jk}) R_{ijkl} = 2 R = 4 K^{[2]}</math>

Для дальнейших вычислений мы перейдем в локальную декартову систему координат в одной из точек многообразия P, и ориентируем её вдоль главных направлений гиперповерхности. В точке P матрица метрического тензора будет единичной:

<math>(13) \qquad g_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{cases}</math>

а потому мы можем численно не различать ковариантные и соответствующие контравариантные компоненты тензоров (верхние и нижние индексы). Тензор Римана в точке <math>P</math> будет в некотором смысле диагональным, а именно, его ненулевые компоненты будут равны:

<math>(14) \qquad R_{ijij} = -R_{ijji} = k^{(i)} k^{(j)} \qquad (i \ne j)</math>

и равны нулю все те компоненты <math>R_{ijkl}</math>, где вторая пара индексов <math>(kl)</math> не совпадает с <math>(ij)</math> с точностью до перестановки в паре.

Левая часть формулы (12) является линейной формой от тензора Римана, а коэффициентами этой формы служат компоненты тензора метрической матрешки. Очевидным обобщением является рассмотрение билинейной формы и форм высших степеней от компонента тензора Римана. Проведем вычисления формулы (12) еще раз и таким образом, чтобы эти вычисления можно было легко обобщить. Имеем, учитывая диагональность тензора Римана:

<math>(15) \qquad g^{ij}_{kl} R^{kl}_{ij} = \sum_{i,j} \left ( \sum_{k,l} g^{ij}_{kl} R^{kl}_{ij} \right ) = \sum_{i, j} \left ( g^{ij}_{ij} R^{ij}_{ij} + g^{ij}_{ji} R^{ji}_{ij} \right )</math>

Далее, два слагаемых в правой части формулы (15) одинаковы вследствие антисимметрии по индексам внутри пары как тензора метрической матрешки, так тензора Римана. Кроме того, диагональная компонента метрической матрешки равна единице, поскольку (в следующей формуле сложения по одинаковым индексам не производится, а индексы <math>i, j</math> разные):

<math>(16) \qquad g^{ij}_{ij} = \begin{vmatrix} \delta^i_i & \delta^i_j \\ \delta^j_i & \delta^j_j \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1</math>

Учитывая вышесказанное и формулу (14), превращаем формулу (15) далее:

<math>(17) \qquad g^{ij}_{kl} R^{kl}_{ij} = 2 \sum_{i \ne j} 1 \cdot k^{(i)} k^{(j)} = 2 \cdot 2! \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 \cdot 2! K^{[2]}</math>

Теперь перейдем к вычислению следующей квадратичной формы:

<math>(18) \qquad \Phi_2(R) = g^{i_1 j_1 i_2 j_2}_{k_1 l_1 k_2 l_2} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} R^{k_2 l_2}_{i_2 j_2}</math>

Коэффициентами этой формы служат компоненты тензора метрической матрешки восьмого ранга. Этот тензор имеет две группы индексов, и является антисимметричным по перестановке индексов внутри этих групп. Вычисляем аналогично формуле (15).

<math>(19) \qquad \Phi_2(R) = \sum_{i_1, j_1, i_2, j_2} \left ( \sum_{k_1, l_1, k_2, l_2} g^{i_1 j_1 i_2 j_2}_{k_1 l_1 k_2 l_2} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} R^{k_2 l_2}_{i_2 j_2} \right ) = 2^2 \sum_{i_1, j_1, i_2, j_2} g^{i_1 j_1 i_2 j_2}_{i_1 j_1 i_2 j_2} R^{i_1 j_1}_{i_1 j_1} R^{i_2 j_2}_{i_2 j_2}</math>

Обозначим индексы <math>i_1, j_1, i_2, j_2</math> как <math>i,j,k,l</math> для упрощения записи:

<math>(19a) \qquad \Phi_2(R) = 2^2 \sum_{i, j, k, l} g^{ijkl}_{ijkl} R^{ij}_{ij} R^{kl}_{kl} = 2^2 4! \sum_{i, j, k, l \over all\; different} g^{ijkl}_{ijkl} k^{(i)} k^{(j)} k^{(k)} k^{(l)}</math>

Все четыре индекса <math>i,j,k,l</math> должны быть попарно различными, поскольку компоненты тензора метрической матрешки равны нулю при наличии двух одинаковых индексов в одной группе. В правой сумме формулы (19a) стоят диагональные компоненты тензора метрической матрешки, которые равны единице (аналогично формуле 16).

<math>(19b) \qquad \Phi_2(R) = 2^2 \sum_{i, j, k, l \over all\; different} k^{(i)} k^{(j)} k^{(k)} k^{(l)} = 2^2 \cdot 4! \sum_{i < j < k < l} k^{(i)} k^{(j)} k^{(k)} k^{(l)} = 2^2 \cdot 4! K^{[4]} </math>

Множитель 4! при переходе ко второй сумме в формуле (19a) возник вследствие того, что для одного слагаемого в правой сумме, характеризующегося фиксированным набором четырех различных чисел <math>i < j < k < l</math>, соответствует 4! = 24 одинаковых по величине слагаемого в левой сумме, характеризующихся перестановками этих четырех чисел.

Формулы (19), (19a), (19b) легко обобщаются на формы высших степеней. Таким образом получаем общую формулу для нахождения кривизны Гаусса парной степени <math>2 m</math>:

<math>(20) \qquad K^{[2 m]} = {1 \over 2^m (2 m)!} g^{i_1 j_1 \dots i_m j_m}_{k_1 l_1 \dots k_m l_m} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} \cdots R^{k_m l_m}_{i_m j_m}</math>

Альтернативный вывод формулы кривизны Гаусса для парной степени

Воспользуемся следующим выражением тензора Римана через тензор полной кривизны

<math>(21) \qquad R^{kl}_{ij} = b^k_i b^l_j - b^k_j b^l_i</math>

и начнем в формуле (10) группировать сомножители по два, например начиная с первых двух (здесь мы считаем, что степень <math>2 m</math> кривизны Гаусса не меньше двух (<math>m \ge 1</math>), и для упрощения записи опустим обозначения <math>m</math>):

<math>(22) \qquad (2 m)! K = g^{i j \dots}_{k l \dots} b^k_i b^l_j \cdots = - g^{j i \dots}_{k l \dots} b^k_i b^l_j \cdots</math>

Последнее преобразование справедливо вследствие антисимметрии тензора метрической матрешки относительно индексов в верхней группе. Далее, в последнем выражении поменяем местами индексы <math>i, j</math>:

<math>(23) \qquad (2 m)! K = - g^{i j \dots}_{k l \dots} b^k_j b^l_i \cdots</math>

Теперь добавим уравнение (22) и (23), при этом учтя (21). Получаем, опять изменив обозначение индексов:

<math>(24) \qquad 2 (2 m)! K^{[2 m]} = g^{i_1 j_1 i_2 j_2 \dots i_m j_m}_{k_1 l_1 k_2 l_2 \dots k_m l_m} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} b^{k_2}_{i_2} \cdots b^{k_m}_{i_m} b^{l_m}_{j_m} </math>

Множитель 2 в левой части уравнения (24) появился в результате группировки двух множителей <math>b^{k_1}_{i_1} b^{l_1}_{j_1}</math>. Очевидно, мы можем аналогичным образом сгруппировать попарно и остальные сомножители, тогда в левой части мы получим множитель <math>2^m</math>, а в правой - выражение, в котором участвует только тензор Римана и тензор метрической матрешки, т.е. мы получим формулу (20).

Кривизна Гаусса нечетной степени

Кривизна Гаусса нечетной степени также связана с тензором Римана, но более сложными формулами, чем (20). К тому же из этих формул кривизна Гаусса выражается неоднозначно.

Значение кривизны Гаусса

В начале было дано определение кривизны Гаусса только для гиперповерхности (формулы 2, 3). Но формула (20), как и формулы для нахождения кривизны Гаусса нечетной степени, позволяют распространить это понятие на произвольные (абстрактные) многообразия. Таким образом мы можем рассматривать кривизны Гаусса как скалярные инварианты тензора Римана.

Внутренняя кривизна многообразия полностью описывается тензором Римана.

Кривизну Гаусса как скаляр можно интегрировать по объему всего многообразия (смотрите статью Интегралы Гаусса). Интеграл от K [n] является топологическим инвариантом n-мерного многообразия (не меняется при непрерывной деформации многообразиях).

Формула Бриоски для двумерной поверхности

• Кривизны Гаусса двумерной поверхности может быть выражена через коэффициенты её первой квадратичной формы

<math>ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math>

и их производные первого и второго порядков по так называемой формуле Бриоски:

<math> K =\frac{\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>

• В случае <math>F=0</math> (так называемая ортогональная параметризация поверхности) эту формулу можно переписать в виде

<math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).</math>

• В случае, если поверхность задана как график дифференцируемой функции <math>z = f(x,y)</math> в трёхмерном евклидовом пространстве с метрикой <math>ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2</math>, эта формула принимает вид

<math>K = \frac{f_{xx}\cdot f_{yy}- f_{xy}^2}{(1+f_x^2+ f_y^2)^2}</math>

• Если поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве с метрикой <math>ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2</math> задана уравнением <math>f(x,y,z) = 0</math>, формула принимает вид

<math>K=\frac{[f_z(f_{xx}f_z-2f_xf_{xz})+f_x^2f_{zz}][f_z(f_{yy}f_z-2f_yf_{yz})+f_y^2f_{zz}]-[f_z(-f_xf_{yz}+f_{xy}f_z-f_{xz}f_y)+f_xf_yf_{zz}]^2}{f_z^2(f_x^2+f_y^2+f_z^2)^2}</math>

• В случае, если первая квадратичная форма конформно эквивалентна евклидовой, то есть<math>E = G = e^{u}</math> с некоторой функцией <math>u=u(x,y)</math> и <math>F= 0</math>, формула для кривизны Гаусса принимает вид

<math> K = -\frac{1}{2e^u}\Delta u,</math>

где <math>\Delta</math> — оператор Лапласа.

См. также

• Кривизна
• Кривизна римановых многообразий

Литература

• Погорелов А. В. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pogorelov1974ru.djvu Дифференциальная геометрия (6-е издание).] М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1950ru.djvu Курс дифференциальной геометрии (3-е издание).] М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Отрывок, характеризующий Кривизна Гаусса

– Soyez homme, mon ami, c'est moi qui veillerai a vos interets, [Будьте мужчиною, друг мой, я же стану блюсти за вашими интересами.] – сказала она в ответ на его взгляд и еще скорее пошла по коридору.
Пьер не понимал, в чем дело, и еще меньше, что значило veiller a vos interets, [блюсти ваши интересы,] но он понимал, что всё это так должно быть. Коридором они вышли в полуосвещенную залу, примыкавшую к приемной графа. Это была одна из тех холодных и роскошных комнат, которые знал Пьер с парадного крыльца. Но и в этой комнате, посередине, стояла пустая ванна и была пролита вода по ковру. Навстречу им вышли на цыпочках, не обращая на них внимания, слуга и причетник с кадилом. Они вошли в знакомую Пьеру приемную с двумя итальянскими окнами, выходом в зимний сад, с большим бюстом и во весь рост портретом Екатерины. Все те же люди, почти в тех же положениях, сидели, перешептываясь, в приемной. Все, смолкнув, оглянулись на вошедшую Анну Михайловну, с ее исплаканным, бледным лицом, и на толстого, большого Пьера, который, опустив голову, покорно следовал за нею.
На лице Анны Михайловны выразилось сознание того, что решительная минута наступила; она, с приемами деловой петербургской дамы, вошла в комнату, не отпуская от себя Пьера, еще смелее, чем утром. Она чувствовала, что так как она ведет за собою того, кого желал видеть умирающий, то прием ее был обеспечен. Быстрым взглядом оглядев всех, бывших в комнате, и заметив графова духовника, она, не то что согнувшись, но сделавшись вдруг меньше ростом, мелкою иноходью подплыла к духовнику и почтительно приняла благословение одного, потом другого духовного лица.
– Слава Богу, что успели, – сказала она духовному лицу, – мы все, родные, так боялись. Вот этот молодой человек – сын графа, – прибавила она тише. – Ужасная минута!
Проговорив эти слова, она подошла к доктору.
– Cher docteur, – сказала она ему, – ce jeune homme est le fils du comte… y a t il de l'espoir? [этот молодой человек – сын графа… Есть ли надежда?]
Доктор молча, быстрым движением возвел кверху глаза и плечи. Анна Михайловна точно таким же движением возвела плечи и глаза, почти закрыв их, вздохнула и отошла от доктора к Пьеру. Она особенно почтительно и нежно грустно обратилась к Пьеру.
– Ayez confiance en Sa misericorde, [Доверьтесь Его милосердию,] – сказала она ему, указав ему диванчик, чтобы сесть подождать ее, сама неслышно направилась к двери, на которую все смотрели, и вслед за чуть слышным звуком этой двери скрылась за нею.
Пьер, решившись во всем повиноваться своей руководительнице, направился к диванчику, который она ему указала. Как только Анна Михайловна скрылась, он заметил, что взгляды всех, бывших в комнате, больше чем с любопытством и с участием устремились на него. Он заметил, что все перешептывались, указывая на него глазами, как будто со страхом и даже с подобострастием. Ему оказывали уважение, какого прежде никогда не оказывали: неизвестная ему дама, которая говорила с духовными лицами, встала с своего места и предложила ему сесть, адъютант поднял уроненную Пьером перчатку и подал ему; доктора почтительно замолкли, когда он проходил мимо их, и посторонились, чтобы дать ему место. Пьер хотел сначала сесть на другое место, чтобы не стеснять даму, хотел сам поднять перчатку и обойти докторов, которые вовсе и не стояли на дороге; но он вдруг почувствовал, что это было бы неприлично, он почувствовал, что он в нынешнюю ночь есть лицо, которое обязано совершить какой то страшный и ожидаемый всеми обряд, и что поэтому он должен был принимать от всех услуги. Он принял молча перчатку от адъютанта, сел на место дамы, положив свои большие руки на симметрично выставленные колени, в наивной позе египетской статуи, и решил про себя, что всё это так именно должно быть и что ему в нынешний вечер, для того чтобы не потеряться и не наделать глупостей, не следует действовать по своим соображениям, а надобно предоставить себя вполне на волю тех, которые руководили им.
Не прошло и двух минут, как князь Василий, в своем кафтане с тремя звездами, величественно, высоко неся голову, вошел в комнату. Он казался похудевшим с утра; глаза его были больше обыкновенного, когда он оглянул комнату и увидал Пьера. Он подошел к нему, взял руку (чего он прежде никогда не делал) и потянул ее книзу, как будто он хотел испытать, крепко ли она держится.
– Courage, courage, mon ami. Il a demande a vous voir. C'est bien… [Не унывать, не унывать, мой друг. Он пожелал вас видеть. Это хорошо…] – и он хотел итти.
Но Пьер почел нужным спросить:
– Как здоровье…
Он замялся, не зная, прилично ли назвать умирающего графом; назвать же отцом ему было совестно.
– Il a eu encore un coup, il y a une demi heure. Еще был удар. Courage, mon аmi… [Полчаса назад у него был еще удар. Не унывать, мой друг…]
Пьер был в таком состоянии неясности мысли, что при слове «удар» ему представился удар какого нибудь тела. Он, недоумевая, посмотрел на князя Василия и уже потом сообразил, что ударом называется болезнь. Князь Василий на ходу сказал несколько слов Лоррену и прошел в дверь на цыпочках. Он не умел ходить на цыпочках и неловко подпрыгивал всем телом. Вслед за ним прошла старшая княжна, потом прошли духовные лица и причетники, люди (прислуга) тоже прошли в дверь. За этою дверью послышалось передвиженье, и наконец, всё с тем же бледным, но твердым в исполнении долга лицом, выбежала Анна Михайловна и, дотронувшись до руки Пьера, сказала:
– La bonte divine est inepuisable. C'est la ceremonie de l'extreme onction qui va commencer. Venez. [Милосердие Божие неисчерпаемо. Соборование сейчас начнется. Пойдемте.]
Пьер прошел в дверь, ступая по мягкому ковру, и заметил, что и адъютант, и незнакомая дама, и еще кто то из прислуги – все прошли за ним, как будто теперь уж не надо было спрашивать разрешения входить в эту комнату.


Пьер хорошо знал эту большую, разделенную колоннами и аркой комнату, всю обитую персидскими коврами. Часть комнаты за колоннами, где с одной стороны стояла высокая красного дерева кровать, под шелковыми занавесами, а с другой – огромный киот с образами, была красно и ярко освещена, как бывают освещены церкви во время вечерней службы. Под освещенными ризами киота стояло длинное вольтеровское кресло, и на кресле, обложенном вверху снежно белыми, не смятыми, видимо, только – что перемененными подушками, укрытая до пояса ярко зеленым одеялом, лежала знакомая Пьеру величественная фигура его отца, графа Безухого, с тою же седою гривой волос, напоминавших льва, над широким лбом и с теми же характерно благородными крупными морщинами на красивом красно желтом лице. Он лежал прямо под образами; обе толстые, большие руки его были выпростаны из под одеяла и лежали на нем. В правую руку, лежавшую ладонью книзу, между большим и указательным пальцами вставлена была восковая свеча, которую, нагибаясь из за кресла, придерживал в ней старый слуга. Над креслом стояли духовные лица в своих величественных блестящих одеждах, с выпростанными на них длинными волосами, с зажженными свечами в руках, и медленно торжественно служили. Немного позади их стояли две младшие княжны, с платком в руках и у глаз, и впереди их старшая, Катишь, с злобным и решительным видом, ни на мгновение не спуская глаз с икон, как будто говорила всем, что не отвечает за себя, если оглянется. Анна Михайловна, с кроткою печалью и всепрощением на лице, и неизвестная дама стояли у двери. Князь Василий стоял с другой стороны двери, близко к креслу, за резным бархатным стулом, который он поворотил к себе спинкой, и, облокотив на нее левую руку со свечой, крестился правою, каждый раз поднимая глаза кверху, когда приставлял персты ко лбу. Лицо его выражало спокойную набожность и преданность воле Божией. «Ежели вы не понимаете этих чувств, то тем хуже для вас», казалось, говорило его лицо.
Сзади его стоял адъютант, доктора и мужская прислуга; как бы в церкви, мужчины и женщины разделились. Всё молчало, крестилось, только слышны были церковное чтение, сдержанное, густое басовое пение и в минуты молчания перестановка ног и вздохи. Анна Михайловна, с тем значительным видом, который показывал, что она знает, что делает, перешла через всю комнату к Пьеру и подала ему свечу. Он зажег ее и, развлеченный наблюдениями над окружающими, стал креститься тою же рукой, в которой была свеча.
Младшая, румяная и смешливая княжна Софи, с родинкою, смотрела на него. Она улыбнулась, спрятала свое лицо в платок и долго не открывала его; но, посмотрев на Пьера, опять засмеялась. Она, видимо, чувствовала себя не в силах глядеть на него без смеха, но не могла удержаться, чтобы не смотреть на него, и во избежание искушений тихо перешла за колонну. В середине службы голоса духовенства вдруг замолкли; духовные лица шопотом сказали что то друг другу; старый слуга, державший руку графа, поднялся и обратился к дамам. Анна Михайловна выступила вперед и, нагнувшись над больным, из за спины пальцем поманила к себе Лоррена. Француз доктор, – стоявший без зажженной свечи, прислонившись к колонне, в той почтительной позе иностранца, которая показывает, что, несмотря на различие веры, он понимает всю важность совершающегося обряда и даже одобряет его, – неслышными шагами человека во всей силе возраста подошел к больному, взял своими белыми тонкими пальцами его свободную руку с зеленого одеяла и, отвернувшись, стал щупать пульс и задумался. Больному дали чего то выпить, зашевелились около него, потом опять расступились по местам, и богослужение возобновилось. Во время этого перерыва Пьер заметил, что князь Василий вышел из за своей спинки стула и, с тем же видом, который показывал, что он знает, что делает, и что тем хуже для других, ежели они не понимают его, не подошел к больному, а, пройдя мимо его, присоединился к старшей княжне и с нею вместе направился в глубь спальни, к высокой кровати под шелковыми занавесами. От кровати и князь и княжна оба скрылись в заднюю дверь, но перед концом службы один за другим возвратились на свои места. Пьер обратил на это обстоятельство не более внимания, как и на все другие, раз навсегда решив в своем уме, что всё, что совершалось перед ним нынешний вечер, было так необходимо нужно.
Звуки церковного пения прекратились, и послышался голос духовного лица, которое почтительно поздравляло больного с принятием таинства. Больной лежал всё так же безжизненно и неподвижно. Вокруг него всё зашевелилось, послышались шаги и шопоты, из которых шопот Анны Михайловны выдавался резче всех.
Пьер слышал, как она сказала:
– Непременно надо перенести на кровать, здесь никак нельзя будет…
Больного так обступили доктора, княжны и слуги, что Пьер уже не видал той красно желтой головы с седою гривой, которая, несмотря на то, что он видел и другие лица, ни на мгновение не выходила у него из вида во всё время службы. Пьер догадался по осторожному движению людей, обступивших кресло, что умирающего поднимали и переносили.
– За мою руку держись, уронишь так, – послышался ему испуганный шопот одного из слуг, – снизу… еще один, – говорили голоса, и тяжелые дыхания и переступанья ногами людей стали торопливее, как будто тяжесть, которую они несли, была сверх сил их.
Несущие, в числе которых была и Анна Михайловна, поровнялись с молодым человеком, и ему на мгновение из за спин и затылков людей показалась высокая, жирная, открытая грудь, тучные плечи больного, приподнятые кверху людьми, державшими его под мышки, и седая курчавая, львиная голова. Голова эта, с необычайно широким лбом и скулами, красивым чувственным ртом и величественным холодным взглядом, была не обезображена близостью смерти. Она была такая же, какою знал ее Пьер назад тому три месяца, когда граф отпускал его в Петербург. Но голова эта беспомощно покачивалась от неровных шагов несущих, и холодный, безучастный взгляд не знал, на чем остановиться.