Кривизна римановых многообразий

Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.

В случае поверхности кривизна в точке полностью описывается гауссовой кривизной.

В размерностях 3 и выше кривизна не может быть полностью охарактеризована одним числом в заданной точке, вместо этого она определяется как тензор.

Способы выражения кривизны

Тензор кривизны

Кривизна риманова многообразия может быть описана различными способами. Наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный через связность Леви-Чивиты (или ковариантное дифференцирование) <math>\nabla</math> и скобку Ли <math>[\cdot,\cdot]</math> по следующей формуле:

<math>R(u,\;v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,\;v]} w.</math>

Тензор кривизны <math>R(u,\;v)</math> представляет собой линейное преобразование касательного пространства к многообразию в выбранной точке.

Если <math>u=\partial/\partial x_i</math> и <math>v=\partial/\partial x_j</math>, то есть они являются координатными векторами, то <math>[u,\;v]=0</math>, и поэтому формула упрощается:

<math>R(u,\;v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w,</math>

то есть тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных по векторам.

Линейное преобразование <math>w\mapsto R(u,\;v)w</math> также называют преобразованием кривизны.

NB. Есть несколько книг, где тензор кривизны определяется с противоположным знаком.

Симметрии и тождества

Тензор кривизны обладает следующими симметриями:

<math>R(u,\;v)=-R(v,\;u);</math>

<math>\langle R(u,\;v)w,\;z \rangle=-\langle R(u,\;v)z,\;w \rangle;</math>

<math>R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.</math>

Последнее тождество было найдено Риччи, но часто его называют первым тождеством Бьянки, потому что оно похоже на тождество Бьянки, описанное ниже.

Эти три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, то есть если какой-то тензор удовлетворяет этим тождествам, то можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые расчёты показывают, что такой тензор имеет <math>n^2(n^2-1)/12</math> независимых компонент.

Ещё одно полезное тождество вытекает из этих трёх:

<math>\langle R(u,\;v)w,\;z \rangle=\langle R(w,\;z)u,\;v \rangle.</math>

Тождество Бьянки (часто называемое вторым тождеством Бьянки) содержит ковариантные производные:

<math>\nabla_uR(v,\;w)+\nabla_vR(w,\;u)+\nabla_w R(u,\;v)=0.</math>

Секционная кривизна

Секционная кривизна является ещё одним эквивалентным, но более геометрическим описанием кривизны римановых многообразий.

Секционная кривизна — это функция <math>K(\sigma)</math>, которая зависит от секционного направления <math>\sigma</math> в точке <math>p</math> (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в <math>p</math>). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке <math>p</math>.

Если <math>v,\;u</math> — два линейно независимых вектора в <math>\sigma</math>, то

<math>K(\sigma)= K(u,\;v)/|u\wedge v|^2,</math>  где  <math>K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u \rangle.</math>

Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

<math>6\langle R(u,\;v)w,\;z \rangle =</math>

<math>[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-</math>

<math>[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].</math>

Или в более простой форме, используя частные производные:

<math>\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=\frac 16 \left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.</math>

Форма кривизны

Форма связности задаёт альтернативный способ описания кривизны. Главным образом такой способ представления используется для общих векторных расслоений и для главных расслоений, но он прекрасно работает для касательного расслоения со связностью Леви-Чивита.

Кривизна в <math>n</math>-мерном римановом многообразии задаётся антисимметричной <math>n\times n</math>-матрицей <math>\Omega^{}_{}=\Omega^i_{\ j}</math> из 2-форм (или эквивалентно, 2-формой со значениями в <math>\operatorname{so}(n)</math>, то есть в алгебре Ли из ортогональной группы <math>\operatorname{O}(n)</math>, являющейся структурной группой касательного расслоения риманова многообразия).

Пусть <math>e_i</math> будет локальным ортонормированным репером. Форма связности определяется антисимметричной матрицей из 1-форм <math>\omega=\omega^i_{\ j}</math>, следующим тождеством

<math>\omega^k_{\ j}(e_i)=\langle \nabla_{e_i}e_j,\;e_k\rangle.</math>

Тогда форма кривизны <math>\Omega=\Omega^i_{\ j}</math> определяется как

<math>\Omega=d\omega +\omega\wedge\omega.</math>

Следующее равенство описывает связь между формой кривизны и тензором кривизны:

<math>R(u,\;v)w=\Omega(u\wedge v)w. </math>

Этот подход автоматически включает все симметрии тензора кривизны, за исключением первого тождества Бьянки, которое принимает вид

<math>\Omega\wedge\theta=0.</math>

где <math>\theta=\theta^i</math> — это <math>n</math>-вектор 1-форм, определённых как <math>\theta^i(v)=\langle e_i,\;v\rangle</math>.

Второе тождество Бьянки принимает вид

<math>D\Omega=0.</math>

<math>D</math> обозначает внешнюю ковариантную производную.

Оператор кривизны

Иногда удобно думать о кривизне, как об операторе <math>Q</math> на касательных бивекторах (элементах <math>\Lambda^2(T)</math>), которые однозначно определяются следующим тождеством:

<math>\langle Q (u\wedge v),\;w\wedge z\rangle=\langle R(u,\;v)z,\;w \rangle.</math>

Это возможно из-за симметрий тензора кривизны (а именно, антисимметрии первой и последней пары индексов, и блок-симметрии этих пар).

Другие кривизны

В общем случае следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является функцией на римановом многообразии, как правило, обозначается <math>\operatorname{Sc}</math>.

Это полный след тензора кривизны. Для ортонормированного базиса <math>\{e_i\}</math> в касательное пространство в <math>p</math> мы имеем

<math>\operatorname{Sc}=\sum_{i,\;j}\langle R(e_i,\;e_j)e_j,\;e_i\rangle=\sum_{i}\langle \operatorname{Ric}(e_i),\;e_i\rangle, </math>

где <math>\operatorname{Ric}</math> обозначает тензор Риччи. Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса.

Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не описывает тензор кривизны полностью.

Кривизна Риччи

Кривизна Риччи является линейным оператором на касательном пространстве в точке, обычно обозначается <math>\operatorname{Ric}</math>. Для ортонормированного базиса <math>\{e_i\}</math> в касательном пространстве в точке <math>p</math> он определяется как

<math>\operatorname{Ric}(u)=\sum_{i} R(u,\;e_i)e_i.</math>

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. В размерности четыре или более кривизна Риччи не описывает тензор кривизны полностью.

Явные выражения для тензора Риччи через связности Леви-Чивита даны в статье о символах Кристоффеля.

Тензор Вейля

Тензор Вейля <math>W</math> имеет те же симметрии, что и тензор кривизны, плюс одну дополнительную: след (то же, что кривизна Риччи) равен 0.

В размерностях 2 и 3 тензор Вейля равен нулю, но если размерность > 3, тогда он может отличаться от нуля.

• Тензор кривизны может быть разложена на части: одна будет зависеть от кривизны Риччи, другая — от тензора Вейля.
• Конформная смена метрики не меняет тензор Вейля.
• Для многообразия постоянной кривизны тензор Вейля равен нулю.
  • Кроме того, <math>W=0</math>, тогда и только тогда, когда метрика является локально конформной евклидовой.

Разложение Риччи

Вместе тензор Риччи и тензор Вейля определяют тензор кривизны полностью.

Вычисление кривизны

• Для расчёта кривизны гиперповерхностей и подмногообразий см. вторая фундаментальная форма,
• Для расчёта кривизны в координатах см. ковариантные производные,
• Для расчёта кривизны методом подвижного репера см. Форма кривизны.
• Уравнение Якоби может быть полезно, если известно поведение геодезических.

Ссылки

• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / пер. с англ. Л. В. Сабинина. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — Т. 1. — 344 с.

Отрывок, характеризующий Кривизна римановых многообразий

– А! – вскрикнул Растопчин, как пораженный каким то неожиданным воспоминанием.
И, быстро отворив дверь, он вышел решительными шагами на балкон. Говор вдруг умолк, шапки и картузы снялись, и все глаза поднялись к вышедшему графу.
– Здравствуйте, ребята! – сказал граф быстро и громко. – Спасибо, что пришли. Я сейчас выйду к вам, но прежде всего нам надо управиться с злодеем. Нам надо наказать злодея, от которого погибла Москва. Подождите меня! – И граф так же быстро вернулся в покои, крепко хлопнув дверью.
По толпе пробежал одобрительный ропот удовольствия. «Он, значит, злодеев управит усех! А ты говоришь француз… он тебе всю дистанцию развяжет!» – говорили люди, как будто упрекая друг друга в своем маловерии.
Через несколько минут из парадных дверей поспешно вышел офицер, приказал что то, и драгуны вытянулись. Толпа от балкона жадно подвинулась к крыльцу. Выйдя гневно быстрыми шагами на крыльцо, Растопчин поспешно оглянулся вокруг себя, как бы отыскивая кого то.
– Где он? – сказал граф, и в ту же минуту, как он сказал это, он увидал из за угла дома выходившего между, двух драгун молодого человека с длинной тонкой шеей, с до половины выбритой и заросшей головой. Молодой человек этот был одет в когда то щегольской, крытый синим сукном, потертый лисий тулупчик и в грязные посконные арестантские шаровары, засунутые в нечищеные, стоптанные тонкие сапоги. На тонких, слабых ногах тяжело висели кандалы, затруднявшие нерешительную походку молодого человека.
– А ! – сказал Растопчин, поспешно отворачивая свой взгляд от молодого человека в лисьем тулупчике и указывая на нижнюю ступеньку крыльца. – Поставьте его сюда! – Молодой человек, брянча кандалами, тяжело переступил на указываемую ступеньку, придержав пальцем нажимавший воротник тулупчика, повернул два раза длинной шеей и, вздохнув, покорным жестом сложил перед животом тонкие, нерабочие руки.
Несколько секунд, пока молодой человек устанавливался на ступеньке, продолжалось молчание. Только в задних рядах сдавливающихся к одному месту людей слышались кряхтенье, стоны, толчки и топот переставляемых ног.
Растопчин, ожидая того, чтобы он остановился на указанном месте, хмурясь потирал рукою лицо.
– Ребята! – сказал Растопчин металлически звонким голосом, – этот человек, Верещагин – тот самый мерзавец, от которого погибла Москва.
Молодой человек в лисьем тулупчике стоял в покорной позе, сложив кисти рук вместе перед животом и немного согнувшись. Исхудалое, с безнадежным выражением, изуродованное бритою головой молодое лицо его было опущено вниз. При первых словах графа он медленно поднял голову и поглядел снизу на графа, как бы желая что то сказать ему или хоть встретить его взгляд. Но Растопчин не смотрел на него. На длинной тонкой шее молодого человека, как веревка, напружилась и посинела жила за ухом, и вдруг покраснело лицо.
Все глаза были устремлены на него. Он посмотрел на толпу, и, как бы обнадеженный тем выражением, которое он прочел на лицах людей, он печально и робко улыбнулся и, опять опустив голову, поправился ногами на ступеньке.
– Он изменил своему царю и отечеству, он передался Бонапарту, он один из всех русских осрамил имя русского, и от него погибает Москва, – говорил Растопчин ровным, резким голосом; но вдруг быстро взглянул вниз на Верещагина, продолжавшего стоять в той же покорной позе. Как будто взгляд этот взорвал его, он, подняв руку, закричал почти, обращаясь к народу: – Своим судом расправляйтесь с ним! отдаю его вам!
Народ молчал и только все теснее и теснее нажимал друг на друга. Держать друг друга, дышать в этой зараженной духоте, не иметь силы пошевелиться и ждать чего то неизвестного, непонятного и страшного становилось невыносимо. Люди, стоявшие в передних рядах, видевшие и слышавшие все то, что происходило перед ними, все с испуганно широко раскрытыми глазами и разинутыми ртами, напрягая все свои силы, удерживали на своих спинах напор задних.
– Бей его!.. Пускай погибнет изменник и не срамит имя русского! – закричал Растопчин. – Руби! Я приказываю! – Услыхав не слова, но гневные звуки голоса Растопчина, толпа застонала и надвинулась, но опять остановилась.
– Граф!.. – проговорил среди опять наступившей минутной тишины робкий и вместе театральный голос Верещагина. – Граф, один бог над нами… – сказал Верещагин, подняв голову, и опять налилась кровью толстая жила на его тонкой шее, и краска быстро выступила и сбежала с его лица. Он не договорил того, что хотел сказать.
– Руби его! Я приказываю!.. – прокричал Растопчин, вдруг побледнев так же, как Верещагин.
– Сабли вон! – крикнул офицер драгунам, сам вынимая саблю.
Другая еще сильнейшая волна взмыла по народу, и, добежав до передних рядов, волна эта сдвинула переднии, шатая, поднесла к самым ступеням крыльца. Высокий малый, с окаменелым выражением лица и с остановившейся поднятой рукой, стоял рядом с Верещагиным.
– Руби! – прошептал почти офицер драгунам, и один из солдат вдруг с исказившимся злобой лицом ударил Верещагина тупым палашом по голове.
«А!» – коротко и удивленно вскрикнул Верещагин, испуганно оглядываясь и как будто не понимая, зачем это было с ним сделано. Такой же стон удивления и ужаса пробежал по толпе.
«О господи!» – послышалось чье то печальное восклицание.
Но вслед за восклицанием удивления, вырвавшимся У Верещагина, он жалобно вскрикнул от боли, и этот крик погубил его. Та натянутая до высшей степени преграда человеческого чувства, которая держала еще толпу, прорвалось мгновенно. Преступление было начато, необходимо было довершить его. Жалобный стон упрека был заглушен грозным и гневным ревом толпы. Как последний седьмой вал, разбивающий корабли, взмыла из задних рядов эта последняя неудержимая волна, донеслась до передних, сбила их и поглотила все. Ударивший драгун хотел повторить свой удар. Верещагин с криком ужаса, заслонясь руками, бросился к народу. Высокий малый, на которого он наткнулся, вцепился руками в тонкую шею Верещагина и с диким криком, с ним вместе, упал под ноги навалившегося ревущего народа.
Одни били и рвали Верещагина, другие высокого малого. И крики задавленных людей и тех, которые старались спасти высокого малого, только возбуждали ярость толпы. Долго драгуны не могли освободить окровавленного, до полусмерти избитого фабричного. И долго, несмотря на всю горячечную поспешность, с которою толпа старалась довершить раз начатое дело, те люди, которые били, душили и рвали Верещагина, не могли убить его; но толпа давила их со всех сторон, с ними в середине, как одна масса, колыхалась из стороны в сторону и не давала им возможности ни добить, ни бросить его.
«Топором то бей, что ли?.. задавили… Изменщик, Христа продал!.. жив… живущ… по делам вору мука. Запором то!.. Али жив?»
Только когда уже перестала бороться жертва и вскрики ее заменились равномерным протяжным хрипеньем, толпа стала торопливо перемещаться около лежащего, окровавленного трупа. Каждый подходил, взглядывал на то, что было сделано, и с ужасом, упреком и удивлением теснился назад.
«О господи, народ то что зверь, где же живому быть!» – слышалось в толпе. – И малый то молодой… должно, из купцов, то то народ!.. сказывают, не тот… как же не тот… О господи… Другого избили, говорят, чуть жив… Эх, народ… Кто греха не боится… – говорили теперь те же люди, с болезненно жалостным выражением глядя на мертвое тело с посиневшим, измазанным кровью и пылью лицом и с разрубленной длинной тонкой шеей.
Полицейский старательный чиновник, найдя неприличным присутствие трупа на дворе его сиятельства, приказал драгунам вытащить тело на улицу. Два драгуна взялись за изуродованные ноги и поволокли тело. Окровавленная, измазанная в пыли, мертвая бритая голова на длинной шее, подворачиваясь, волочилась по земле. Народ жался прочь от трупа.