Тензор Риччи
Тензор Риччи, названный в честь Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.
Содержание
Формальное определение
Пусть <math>(M,g)</math> — n-мерное риманово многообразие, а <math>T_pM</math> — касательное пространство к M в точке p. Для любой пары <math>\xi, \eta\in T_pM</math> касательных векторов в точке p, тензор Риччи <math>\mathrm{Ric} (\xi , \eta )</math>, по определению, отображает <math>(\xi, \eta )</math> в след линейного автоморфизма <math>T_pM\to T_pM</math>, заданного тензором кривизны Римана R:
- <math>\zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi</math>
Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:
- <math>\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j</math>
где <math>R_{ij} = {R^k}_{ikj}.</math> — след тензора Римана в координатном представлении.
Геометрический смысл
В окрестности любой точки p риманова многообразия <math>(M,g)</math> можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства <math>\delta_{ij}</math> (или метрике Минковского <math>\eta_{ij}</math> в случае псевдориманова многообразия).
В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p:
- <math>d\mu_g = \Big[ 1 - \frac{1}{6}R_{jk}x^jx^k+ O(|x|^3)\Big] d\mu_Шаблон:\rm Euclidean</math>
Таким образом, если кривизна Риччи <math>\textrm{Ric}(\xi , \xi )</math> положительна в направлении вектора <math>\xi</math>, то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении <math>\xi</math>, будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора <math>\xi</math> будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.
Кривизна Риччи и геометрия в целом
Пусть <math>M</math> есть полное <math>n</math>-мерное риманово многообразие с <math>\operatorname{Ric}_M\ge (n-1)\kappa</math>
- Неравенство Бишопа — Громова. Пусть <math>p\in M</math>, обозначим через <math>v_p(r)</math> есть объём шара радиуса <math>r</math> с центром в <math>p</math>. обозначим через <math>\tilde v(r)</math> объём шара радиуса <math>r</math> в <math>n</math>-мерном пространстве постоянной кривизны <math>\kappa</math>. Тогда отношение
- <math>\frac{v_p(r)}{\tilde v(r)}</math>
- есть невозрастающая функция от <math>r</math>.
- Теорема Мейера
- Из тождества Бохнера для 1-форм следует, что если <math>\kappa=1</math> то собственные числа лапласиана на <math>M</math> не меньше чем у единичной <math>n</math>-мерной сферы.
Приложения тензора Риччи
- Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна.
- Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи, в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.
См. также
|
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Напишите отзыв о статье "Тензор Риччи"
Отрывок, характеризующий Тензор Риччи
В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
Новостью дня в этот день в Петербурге была болезнь графини Безуховой. Графиня несколько дней тому назад неожиданно заболела, пропустила несколько собраний, которых она была украшением, и слышно было, что она никого не принимает и что вместо знаменитых петербургских докторов, обыкновенно лечивших ее, она вверилась какому то итальянскому доктору, лечившему ее каким то новым и необыкновенным способом.
Все очень хорошо знали, что болезнь прелестной графини происходила от неудобства выходить замуж сразу за двух мужей и что лечение итальянца состояло в устранении этого неудобства; но в присутствии Анны Павловны не только никто не смел думать об этом, но как будто никто и не знал этого.
– On dit que la pauvre comtesse est tres mal. Le medecin dit que c'est l'angine pectorale. [Говорят, что бедная графиня очень плоха. Доктор сказал, что это грудная болезнь.]
– L'angine? Oh, c'est une maladie terrible! [Грудная болезнь? О, это ужасная болезнь!]
– On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l'angine… [Говорят, что соперники примирились благодаря этой болезни.]
