Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829—1900). Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние <math>{r}</math> от неё до полюса и угол <math>\varphi</math> направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: <math>({\rm d} r,\,{\rm d}\varphi)</math>.

Пусть есть вектор <math>\boldsymbol A</math> с компонентами <math>(a,\,\alpha)</math>, где <math>a</math> имеет геометрический смысл проекции вектора <math>\boldsymbol A</math> на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а <math>\alpha</math> — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние <math>{\rm d}r</math>, его компонента <math>a</math>, очевидно, не меняется, но вторая его координата (<math>\alpha</math>) уменьшается (рис. 1). Величина вектора <math>|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2</math> остаётся неизменной, поэтому <math>a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2</math>. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

<math>{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.</math>

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты <math>a</math> и <math>\alpha</math> (рис. 2). Очевидно, <math>\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda</math>, <math>a=A\cos\lambda</math>, и <math>{\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi</math> поэтому:

<math>{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.</math>

Кроме этого, так как <math>a=A\cos\lambda</math>, <math>{\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi</math>, и <math>A\sin\lambda=r\alpha</math>, то

<math>{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.</math>

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и <math>r</math>, и <math>\varphi</math>) изменения компонент надо складывать:

<math>{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.</math> <math>{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.</math>

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях <math>x^1=r</math>, <math>x^2=\varphi</math>, <math>{A^1=a}</math> и <math>A^2=\alpha</math> можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

<math>{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.</math>

Здесь символы Кристоффеля <math>{\Gamma^1_{22}=-r}</math>, <math>\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r</math>, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода <math>\Gamma^{k}_{ij}</math> можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов <math>\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}</math> по базису:

<math>\nabla_{\partial_j}\partial_i = \Gamma^{k}_{ij}\partial_k</math>

Символы Кристоффеля первого рода <math>\Gamma^{}_{n,ij}</math>

<math>\Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right)</math>

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты <math>x^i</math> могут быть определены из отсутствия кручения, то есть:

<math>\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}</math>.

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора <math>g_{ik}\ </math> равна нулю:

<math>\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0</math>.

Для сокращения записи символ набла <math>\nabla</math> и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая ", " в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как:

<math>g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0</math>.

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

<math>\Gamma^i {}_{k\ell}=

\frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m})</math>, где <math>g^{ij}\ </math> — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к <math>g_{ij}\ </math>, находится путём решения системы линейных уравнений <math>g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\ </math>.

Связь с безындексными обозначениями

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами <math>X^i\ </math> и <math>Y^k\ </math>. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

<math>\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).\ </math>

Условие отсутствия кручения у связности, :<math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\ </math>, эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

<math>\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.</math>

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных <math>(x^1,...,x^n)\ </math> на <math>(y^1,...,y^n)\ </math>, базисные векторы преобразуются ковариантно,

<math>\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\ </math>

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

<math>\overline{\Gamma^k {}_{ij}} =

\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r {}_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^r}\, \frac{\partial^2 x^r}{\partial y^i \partial y^j} \ </math>

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) <math>H_\beta</math>, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

<math>\Gamma_{\beta\beta,\gamma}=-{H_\beta}{H_\gamma}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}</math>, при <math>\beta\neq\gamma</math>.

<math>\Gamma_{\beta\gamma,\beta}={H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}</math>.

Символы Кристоффеля второго рода:

<math>\Gamma^\gamma_{\beta\beta}=-\frac{H_\beta}{H_\gamma^2}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}</math>, при <math>\beta\neq\gamma</math>.

<math>\Gamma^\beta_{\beta\gamma}=\Gamma^\beta_{\gamma\beta}=\frac{1}{H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}</math>

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат <math>\left\{x, y, z\right\}</math>: <math>\Gamma^k_{ij}\equiv 0</math>, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат <math>\left\{r, \phi, z\right\}</math>: <math>\Gamma^1_{22}=-r</math>, <math>\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}</math>. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат <math>\left\{r, \theta, \phi\right\}</math>: <math>\Gamma^1_{22}=-r</math>, <math>\Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta</math>, <math>\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r}</math>, <math>\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta</math>, <math>\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\operatorname{ctg}\theta</math>. Остальные равны нулю.

См. также

• Геодезическая
• Деривационные формулы Вейнгартена
• Символ Леви-Чивиты
• Символ Кронекера

Литература

• Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.
• Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

Отрывок, характеризующий Символы Кристоффеля

В тот же день приказ за приказом отдавались французскими начальниками о том, чтобы запретить войскам расходиться по городу, строго запретить насилия жителей и мародерство, о том, чтобы нынче же вечером сделать общую перекличку; но, несмотря ни на какие меры. люди, прежде составлявшие войско, расплывались по богатому, обильному удобствами и запасами, пустому городу. Как голодное стадо идет в куче по голому полю, но тотчас же неудержимо разбредается, как только нападает на богатые пастбища, так же неудержимо разбредалось и войско по богатому городу.
Жителей в Москве не было, и солдаты, как вода в песок, всачивались в нее и неудержимой звездой расплывались во все стороны от Кремля, в который они вошли прежде всего. Солдаты кавалеристы, входя в оставленный со всем добром купеческий дом и находя стойла не только для своих лошадей, но и лишние, все таки шли рядом занимать другой дом, который им казался лучше. Многие занимали несколько домов, надписывая мелом, кем он занят, и спорили и даже дрались с другими командами. Не успев поместиться еще, солдаты бежали на улицу осматривать город и, по слуху о том, что все брошено, стремились туда, где можно было забрать даром ценные вещи. Начальники ходили останавливать солдат и сами вовлекались невольно в те же действия. В Каретном ряду оставались лавки с экипажами, и генералы толпились там, выбирая себе коляски и кареты. Остававшиеся жители приглашали к себе начальников, надеясь тем обеспечиться от грабежа. Богатств было пропасть, и конца им не видно было; везде, кругом того места, которое заняли французы, были еще неизведанные, незанятые места, в которых, как казалось французам, было еще больше богатств. И Москва все дальше и дальше всасывала их в себя. Точно, как вследствие того, что нальется вода на сухую землю, исчезает вода и сухая земля; точно так же вследствие того, что голодное войско вошло в обильный, пустой город, уничтожилось войско, и уничтожился обильный город; и сделалась грязь, сделались пожары и мародерство.

Французы приписывали пожар Москвы au patriotisme feroce de Rastopchine [дикому патриотизму Растопчина]; русские – изуверству французов. В сущности же, причин пожара Москвы в том смысле, чтобы отнести пожар этот на ответственность одного или несколько лиц, таких причин не было и не могло быть. Москва сгорела вследствие того, что она была поставлена в такие условия, при которых всякий деревянный город должен сгореть, независимо от того, имеются ли или не имеются в городе сто тридцать плохих пожарных труб. Москва должна была сгореть вследствие того, что из нее выехали жители, и так же неизбежно, как должна загореться куча стружек, на которую в продолжение нескольких дней будут сыпаться искры огня. Деревянный город, в котором при жителях владельцах домов и при полиции бывают летом почти каждый день пожары, не может не сгореть, когда в нем нет жителей, а живут войска, курящие трубки, раскладывающие костры на Сенатской площади из сенатских стульев и варящие себе есть два раза в день. Стоит в мирное время войскам расположиться на квартирах по деревням в известной местности, и количество пожаров в этой местности тотчас увеличивается. В какой же степени должна увеличиться вероятность пожаров в пустом деревянном городе, в котором расположится чужое войско? Le patriotisme feroce de Rastopchine и изуверство французов тут ни в чем не виноваты. Москва загорелась от трубок, от кухонь, от костров, от неряшливости неприятельских солдат, жителей – не хозяев домов. Ежели и были поджоги (что весьма сомнительно, потому что поджигать никому не было никакой причины, а, во всяком случае, хлопотливо и опасно), то поджоги нельзя принять за причину, так как без поджогов было бы то же самое.
Как ни лестно было французам обвинять зверство Растопчина и русским обвинять злодея Бонапарта или потом влагать героический факел в руки своего народа, нельзя не видеть, что такой непосредственной причины пожара не могло быть, потому что Москва должна была сгореть, как должна сгореть каждая деревня, фабрика, всякий дом, из которого выйдут хозяева и в который пустят хозяйничать и варить себе кашу чужих людей. Москва сожжена жителями, это правда; но не теми жителями, которые оставались в ней, а теми, которые выехали из нее. Москва, занятая неприятелем, не осталась цела, как Берлин, Вена и другие города, только вследствие того, что жители ее не подносили хлеба соли и ключей французам, а выехали из нее.


Расходившееся звездой по Москве всачивание французов в день 2 го сентября достигло квартала, в котором жил теперь Пьер, только к вечеру.
Пьер находился после двух последних, уединенно и необычайно проведенных дней в состоянии, близком к сумасшествию. Всем существом его овладела одна неотвязная мысль. Он сам не знал, как и когда, но мысль эта овладела им теперь так, что он ничего не помнил из прошедшего, ничего не понимал из настоящего; и все, что он видел и слышал, происходило перед ним как во сне.
Пьер ушел из своего дома только для того, чтобы избавиться от сложной путаницы требований жизни, охватившей его, и которую он, в тогдашнем состоянии, но в силах был распутать. Он поехал на квартиру Иосифа Алексеевича под предлогом разбора книг и бумаг покойного только потому, что он искал успокоения от жизненной тревоги, – а с воспоминанием об Иосифе Алексеевиче связывался в его душе мир вечных, спокойных и торжественных мыслей, совершенно противоположных тревожной путанице, в которую он чувствовал себя втягиваемым. Он искал тихого убежища и действительно нашел его в кабинете Иосифа Алексеевича. Когда он, в мертвой тишине кабинета, сел, облокотившись на руки, над запыленным письменным столом покойника, в его воображении спокойно и значительно, одно за другим, стали представляться воспоминания последних дней, в особенности Бородинского сражения и того неопределимого для него ощущения своей ничтожности и лживости в сравнении с правдой, простотой и силой того разряда людей, которые отпечатались у него в душе под названием они. Когда Герасим разбудил его от его задумчивости, Пьеру пришла мысль о том, что он примет участие в предполагаемой – как он знал – народной защите Москвы. И с этой целью он тотчас же попросил Герасима достать ему кафтан и пистолет и объявил ему свое намерение, скрывая свое имя, остаться в доме Иосифа Алексеевича. Потом, в продолжение первого уединенно и праздно проведенного дня (Пьер несколько раз пытался и не мог остановить своего внимания на масонских рукописях), ему несколько раз смутно представлялось и прежде приходившая мысль о кабалистическом значении своего имени в связи с именем Бонапарта; но мысль эта о том, что ему, l'Russe Besuhof, предназначено положить предел власти зверя, приходила ему еще только как одно из мечтаний, которые беспричинно и бесследно пробегают в воображении.
Когда, купив кафтан (с целью только участвовать в народной защите Москвы), Пьер встретил Ростовых и Наташа сказала ему: «Вы остаетесь? Ах, как это хорошо!» – в голове его мелькнула мысль, что действительно хорошо бы было, даже ежели бы и взяли Москву, ему остаться в ней и исполнить то, что ему предопределено.
На другой день он, с одною мыслию не жалеть себя и не отставать ни в чем от них, ходил с народом за Трехгорную заставу. Но когда он вернулся домой, убедившись, что Москву защищать не будут, он вдруг почувствовал, что то, что ему прежде представлялось только возможностью, теперь сделалось необходимостью и неизбежностью. Он должен был, скрывая свое имя, остаться в Москве, встретить Наполеона и убить его с тем, чтобы или погибнуть, или прекратить несчастье всей Европы, происходившее, по мнению Пьера, от одного Наполеона.
Пьер знал все подробности покушении немецкого студента на жизнь Бонапарта в Вене в 1809 м году и знал то, что студент этот был расстрелян. И та опасность, которой он подвергал свою жизнь при исполнении своего намерения, еще сильнее возбуждала его.
Два одинаково сильные чувства неотразимо привлекали Пьера к его намерению. Первое было чувство потребности жертвы и страдания при сознании общего несчастия, то чувство, вследствие которого он 25 го поехал в Можайск и заехал в самый пыл сражения, теперь убежал из своего дома и, вместо привычной роскоши и удобств жизни, спал, не раздеваясь, на жестком диване и ел одну пищу с Герасимом; другое – было то неопределенное, исключительно русское чувство презрения ко всему условному, искусственному, человеческому, ко всему тому, что считается большинством людей высшим благом мира. В первый раз Пьер испытал это странное и обаятельное чувство в Слободском дворце, когда он вдруг почувствовал, что и богатство, и власть, и жизнь, все, что с таким старанием устроивают и берегут люди, – все это ежели и стоит чего нибудь, то только по тому наслаждению, с которым все это можно бросить.
Это было то чувство, вследствие которого охотник рекрут пропивает последнюю копейку, запивший человек перебивает зеркала и стекла без всякой видимой причины и зная, что это будет стоить ему его последних денег; то чувство, вследствие которого человек, совершая (в пошлом смысле) безумные дела, как бы пробует свою личную власть и силу, заявляя присутствие высшего, стоящего вне человеческих условий, суда над жизнью.
С самого того дня, как Пьер в первый раз испытал это чувство в Слободском дворце, он непрестанно находился под его влиянием, но теперь только нашел ему полное удовлетворение. Кроме того, в настоящую минуту Пьера поддерживало в его намерении и лишало возможности отречься от него то, что уже было им сделано на этом пути. И его бегство из дома, и его кафтан, и пистолет, и его заявление Ростовым, что он остается в Москве, – все потеряло бы не только смысл, но все это было бы презренно и смешно (к чему Пьер был чувствителен), ежели бы он после всего этого, так же как и другие, уехал из Москвы.