Цилиндрическая система координат

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой <math>z</math>), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка <math>P</math> даётся как <math>(\rho,\;\varphi,\;z)</math>. В терминах прямоугольной системы координат:

• <math>\rho\geqslant 0</math> — расстояние от <math>O</math> до <math>P'</math>, ортогональной проекции точки <math>P</math> на плоскость <math>XY</math>. Или то же самое, что расстояние от <math>P</math> до оси <math>Z</math>.
• <math>0\leqslant\varphi<360^\circ</math> — угол между осью <math>X</math> и отрезком <math>OP'</math>.
• <math>z</math> равна аппликате точки <math>P</math>.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения <math>(\rho,\;\varphi,\;z)</math>.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось <math>Z</math> взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение <math>x^2+y^2=c^2</math>, а в цилиндрических — очень простое уравнение <math>\rho=c</math>. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:

<math>\begin{cases} \vec{e}_{\rho}=\cos\varphi\vec{e}_{x} + \sin\varphi\vec{e}_{y}, \\ \vec{e}_{\varphi}=-\sin\varphi\vec{e}_{x} + \cos\varphi\vec{e}_{y}, \\ \vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}, \end{cases}</math>

и образуют правую тройку:

<math>\begin{cases} \vec{e}_{\rho} \times \vec{e}_{\varphi}= \vec{e}_{z}, \\ \vec{e}_{z} \times \vec{e}_{\rho}= \vec{e}_{\varphi}, \\ \vec{e}_{\varphi} \times \vec{e}_{z}= \vec{e}_{\rho}. \end{cases}</math>

Обратные соотношения имеют вид:

<math>\begin{cases} \vec{e}_{x}=\cos\varphi\vec{e}_{\rho} - \sin\varphi\vec{e}_{\varphi}, \\ \vec{e}_{y}=\sin\varphi\vec{e}_{\rho} + \cos\varphi\vec{e}_{\varphi}, \\ \vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}. \end{cases}</math>

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

<math>\begin{cases}

x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end{cases}</math> Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

<math>\begin{cases}

\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\ z=z. \end{cases}</math> Якобиан равен:

<math>J=\rho.</math>

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

<math>g_{ij}=\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.</math>

• Квадрат дифференциала длины кривой

<math>ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2.</math>

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

<math>H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1.</math>

• Символы Кристоффеля <math>\{r,\;\varphi,\;z\}</math>:

<math>\Gamma^1_{22}=-r,\quad\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}.</math>

Остальные равны нулю.

Дифференциальные операторы

Градиент в цилиндрической системе координат:

<math>\mathrm{grad}\,\psi=\vec e_\rho\frac{\partial\psi}{\partial\rho}+\vec e_\varphi\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}+\vec e_z\frac{\partial\psi}{\partial z}.</math>

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

<math>\mathrm{div}\,\vec a=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho a_\rho}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial a_z}{\partial z}.</math>

Ротор в цилиндрической системе координат:

<math>\mathrm{rot}\,\vec a= \mathrm{det} \begin{pmatrix}

\frac{1}{\rho}\vec e_\rho & \vec e_\varphi & \frac{1}{\rho}\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_\rho & \rho a_\varphi & \ a_z \end{pmatrix} = \vec e_\rho\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial a_\varphi}{\partial z}\right)+ \vec e_\varphi\left(\frac{\partial a_\rho}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial\rho}\right)+ \vec e_z\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho a_\varphi}{\partial\rho}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_\rho}{\partial\varphi}\right).</math>

См. также

• Углы Эйлера
• Цилиндрические шахматы

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Цилиндрическая система координат

– Стало быть вы служите?
– Служу. – Он помолчал немного.
– Так зачем же вы служите?
– А вот зачем. Отец мой один из замечательнейших людей своего века. Но он становится стар, и он не то что жесток, но он слишком деятельного характера. Он страшен своей привычкой к неограниченной власти, и теперь этой властью, данной Государем главнокомандующим над ополчением. Ежели бы я два часа опоздал две недели тому назад, он бы повесил протоколиста в Юхнове, – сказал князь Андрей с улыбкой; – так я служу потому, что кроме меня никто не имеет влияния на отца, и я кое где спасу его от поступка, от которого бы он после мучился.
– А, ну так вот видите!
– Да, mais ce n'est pas comme vous l'entendez, [но это не так, как вы это понимаете,] – продолжал князь Андрей. – Я ни малейшего добра не желал и не желаю этому мерзавцу протоколисту, который украл какие то сапоги у ополченцев; я даже очень был бы доволен видеть его повешенным, но мне жалко отца, то есть опять себя же.
Князь Андрей всё более и более оживлялся. Глаза его лихорадочно блестели в то время, как он старался доказать Пьеру, что никогда в его поступке не было желания добра ближнему.
– Ну, вот ты хочешь освободить крестьян, – продолжал он. – Это очень хорошо; но не для тебя (ты, я думаю, никого не засекал и не посылал в Сибирь), и еще меньше для крестьян. Ежели их бьют, секут, посылают в Сибирь, то я думаю, что им от этого нисколько не хуже. В Сибири ведет он ту же свою скотскую жизнь, а рубцы на теле заживут, и он так же счастлив, как и был прежде. А нужно это для тех людей, которые гибнут нравственно, наживают себе раскаяние, подавляют это раскаяние и грубеют от того, что у них есть возможность казнить право и неправо. Вот кого мне жалко, и для кого бы я желал освободить крестьян. Ты, может быть, не видал, а я видел, как хорошие люди, воспитанные в этих преданиях неограниченной власти, с годами, когда они делаются раздражительнее, делаются жестоки, грубы, знают это, не могут удержаться и всё делаются несчастнее и несчастнее. – Князь Андрей говорил это с таким увлечением, что Пьер невольно подумал о том, что мысли эти наведены были Андрею его отцом. Он ничего не отвечал ему.
– Так вот кого мне жалко – человеческого достоинства, спокойствия совести, чистоты, а не их спин и лбов, которые, сколько ни секи, сколько ни брей, всё останутся такими же спинами и лбами.
– Нет, нет и тысячу раз нет, я никогда не соглашусь с вами, – сказал Пьер.


Вечером князь Андрей и Пьер сели в коляску и поехали в Лысые Горы. Князь Андрей, поглядывая на Пьера, прерывал изредка молчание речами, доказывавшими, что он находился в хорошем расположении духа.
Он говорил ему, указывая на поля, о своих хозяйственных усовершенствованиях.
Пьер мрачно молчал, отвечая односложно, и казался погруженным в свои мысли.
Пьер думал о том, что князь Андрей несчастлив, что он заблуждается, что он не знает истинного света и что Пьер должен притти на помощь ему, просветить и поднять его. Но как только Пьер придумывал, как и что он станет говорить, он предчувствовал, что князь Андрей одним словом, одним аргументом уронит всё в его ученьи, и он боялся начать, боялся выставить на возможность осмеяния свою любимую святыню.
– Нет, отчего же вы думаете, – вдруг начал Пьер, опуская голову и принимая вид бодающегося быка, отчего вы так думаете? Вы не должны так думать.
– Про что я думаю? – спросил князь Андрей с удивлением.
– Про жизнь, про назначение человека. Это не может быть. Я так же думал, и меня спасло, вы знаете что? масонство. Нет, вы не улыбайтесь. Масонство – это не религиозная, не обрядная секта, как и я думал, а масонство есть лучшее, единственное выражение лучших, вечных сторон человечества. – И он начал излагать князю Андрею масонство, как он понимал его.