Логика второго порядка

Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Язык и синтаксис

Формальные языки логики второго порядка строятся на основе множества функциональных символов <math>\mathcal{F}</math> и множества предикатных символов <math>\mathcal{P}</math>. С каждым функциональным и предикатным символом связана арность (число аргументов). Также используются дополнительные символы

• Символы индивидуальных переменных, обычно <math>\ x, y, z, x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2,</math> и т. д.
• Символы функциональных переменных <math>\ F, G, H, F_1, G_1, H_1, F_2, G_2, H_2,</math>. Каждой функциональной переменной соответствует некоторое положительное число — арность функции.
• Символы предикатных переменных <math>\ P, R, S, P_1, R_1, S_1, P_2, R_2, S_2,</math>. Каждой предикатной переменной соответствует некоторое положительное число — арность предиката.
• Пропозициональные связи: <math>\lor,\land,\neg,\to</math>,
• Кванторы общности <math>\forall</math> и существования <math>\exists</math>,
• Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами <math>\mathcal{P}</math> и <math>\mathcal{F}</math> образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно.

• Терм — это символ индивидуальной переменной, либо выражение которое имеет вид <math>\ f(t_1,\ldots,t_n)</math>, где <math>\ f</math> — функциональный символ арности <math>\ n</math>, а <math>\ t_1,\ldots,t_n</math> — термы либо выражение вида <math>\ F(t_1,\ldots,t_n)</math>, где <math>\ F</math> — функциональная переменная арности <math>\ n</math>, а <math>\ t_1,\ldots,t_n</math> — термы.
• Атом — имеет вид <math>\ p(t_1,\ldots,t_n)</math>, где <math>p</math> — предикатный символ арности <math>\ n</math>, а <math>\ t_1,\ldots,t_n</math> — термы или <math>\ P(t_1,\ldots,t_n)</math>, где <math>P</math> — предикатная переменная арности <math>\ n</math>, а <math>\ t_1,\ldots,t_n</math> — термы.
• Формула — это или атом или одна из следующих конструкций: <math>\neg A, (A_1\lor A_2), (A_1\land A_2), (A_1\to A_2), \forall x A, \exists x A, \forall F A, \exists F A, \forall P A, \exists P A</math>, где <math>\ A, A_1, A_2</math> — формулы, а <math>\ x, F, P</math> — индивидуальная, функциональная и предикатная переменные.

Семантика

В классической логике интерпретация формул логики второго порядка задаётся на модели второго порядка, которая определяется следующими данными.

• Базовое множество <math>\mathcal{D}</math>,
• Семантическая функция <math>\sigma</math>, которая отображает
  • каждый <math>n</math>-арный функциональный символ <math>f</math> из <math>\mathcal{F}</math> в <math>n</math>-арную функцию <math>\sigma(f):\mathcal{D}\times\ldots\times\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{D}</math>,
  • каждый <math>n</math>-арный предикатный символ <math>p</math> из <math>\mathcal{P}</math> в <math>n</math>-арное отношение <math>\sigma(p)\subseteq\mathcal{D}\times\ldots\times\mathcal{D}</math>.

Свойства

В отличие от логики первого порядка, логика второго порядка не имеет свойств полноты и компактности. Также в этой логике является неверным утверждение теоремы Лёвенгейма — Скулема.

Литература

1. Henkin, L. (1950). «Completeness in the theory of types». Journal of Symbolic Logic 15 (2): 81-91.
2. Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
3. Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0.
4. Rossberg, M. (2004). «First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness». in V. Hendricks et al., eds.. First-order logic revisited. Berlin: Logos-Verlag.
5. Vaananen, J. (2001). «Second-Order Logic and Foundations of Mathematics». Bulletin of Symbolic Logic 7 (4): 504—520.

Отрывок, характеризующий Логика второго порядка

Он указывал на монастырь с башнями, видневшийся на горе. Он улыбнулся, глаза его сузились и засветились.
– А ведь хорошо бы, господа!
Офицеры засмеялись.
– Хоть бы попугать этих монашенок. Итальянки, говорят, есть молоденькие. Право, пять лет жизни отдал бы!
– Им ведь и скучно, – смеясь, сказал офицер, который был посмелее.
Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.
– Очень хорошо, – отвечал Несвицкий.
Он кликнул казака с лошадью, велел убрать сумочку и фляжку и легко перекинул свое тяжелое тело на седло.
– Право, заеду к монашенкам, – сказал он офицерам, с улыбкою глядевшим на него, и поехал по вьющейся тропинке под гору.
– Нут ка, куда донесет, капитан, хватите ка! – сказал генерал, обращаясь к артиллеристу. – Позабавьтесь от скуки.
– Прислуга к орудиям! – скомандовал офицер.
И через минуту весело выбежали от костров артиллеристы и зарядили.
– Первое! – послышалась команда.
Бойко отскочил 1 й номер. Металлически, оглушая, зазвенело орудие, и через головы всех наших под горой, свистя, пролетела граната и, далеко не долетев до неприятеля, дымком показала место своего падения и лопнула.
Лица солдат и офицеров повеселели при этом звуке; все поднялись и занялись наблюдениями над видными, как на ладони, движениями внизу наших войск и впереди – движениями приближавшегося неприятеля. Солнце в ту же минуту совсем вышло из за туч, и этот красивый звук одинокого выстрела и блеск яркого солнца слились в одно бодрое и веселое впечатление.


Над мостом уже пролетели два неприятельские ядра, и на мосту была давка. В средине моста, слезши с лошади, прижатый своим толстым телом к перилам, стоял князь Несвицкий.
Он, смеючись, оглядывался назад на своего казака, который с двумя лошадьми в поводу стоял несколько шагов позади его.
Только что князь Несвицкий хотел двинуться вперед, как опять солдаты и повозки напирали на него и опять прижимали его к перилам, и ему ничего не оставалось, как улыбаться.
– Экой ты, братец, мой! – говорил казак фурштатскому солдату с повозкой, напиравшему на толпившуюся v самых колес и лошадей пехоту, – экой ты! Нет, чтобы подождать: видишь, генералу проехать.
Но фурштат, не обращая внимания на наименование генерала, кричал на солдат, запружавших ему дорогу: – Эй! землячки! держись влево, постой! – Но землячки, теснясь плечо с плечом, цепляясь штыками и не прерываясь, двигались по мосту одною сплошною массой. Поглядев за перила вниз, князь Несвицкий видел быстрые, шумные, невысокие волны Энса, которые, сливаясь, рябея и загибаясь около свай моста, перегоняли одна другую. Поглядев на мост, он видел столь же однообразные живые волны солдат, кутасы, кивера с чехлами, ранцы, штыки, длинные ружья и из под киверов лица с широкими скулами, ввалившимися щеками и беззаботно усталыми выражениями и движущиеся ноги по натасканной на доски моста липкой грязи. Иногда между однообразными волнами солдат, как взбрызг белой пены в волнах Энса, протискивался между солдатами офицер в плаще, с своею отличною от солдат физиономией; иногда, как щепка, вьющаяся по реке, уносился по мосту волнами пехоты пеший гусар, денщик или житель; иногда, как бревно, плывущее по реке, окруженная со всех сторон, проплывала по мосту ротная или офицерская, наложенная доверху и прикрытая кожами, повозка.