Многогранник Ньютона
Поделись знанием:
– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном Евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.
Конструкция
Предположим
- <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum a_{i_1,\dots,i_n}x_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}</math>
есть многочлен от n переменных. Обозначим через <math>I</math> множество всех мультииндексов <math>i_1,\dots,i_n</math> таких, что <math>a_{i_1,\dots,i_n}\ne0</math>. По определению многочлена <math>I</math> конечно.
Выпуклая оболочка
- <math>N_f=\mathop{\rm Conv}I\subset \mathbb{R}^n</math>
называется многогранником Ньютона многочлена <math>f</math>.
Свойства
- Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений <math>f_1=\dots=f_n=0</math> равно
- <math>n!\cdot V(N_1,\dots,N_n),</math>
- где <math>N_i</math> многогранник Ньютона многочлена <math>f_i</math> и <math>V(N_1,\dots,N_n)</math> — их смешанный объём.[1][2]
Вариации и обобщения
- Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинации данных многочленов.[3]
Напишите отзыв о статье "Многогранник Ньютона"
Примечания
- ↑ D. N. Bernstein, "The number of roots of a system of equations", Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183–185
- ↑ A. G. Kouchnirenko, "Polyhedres de Newton et nombres de Milnor", Invent. Math. 32 (1976), 1–31
- ↑ Andrei Okounkov Brunn–Minkowski inequality for multiplicities // Inventiones mathematicae. — Т. 125, № 3. — С. 405—411.
Литература
- Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
- Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, [www.mfo.de/math-in-public/snapshots/files/ideas-of-newton-okounkov-bodies Ideas of Newton-Okounkov bodies], [www.mfo.de/math-in-public/snapshots/ Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach], No. 8/2015:
Отрывок, характеризующий Многогранник Ньютона
– Ваш полк честно исполнил долг свой, – сказал Наполеон.– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
