Нотация массива
Нотация массива (англ. Array notation) — это нотация для записи больших чисел, предложенная американским математиком Джонатаном Бауэрсом (Jonathan Bowers) в 2002 году. Данная нотация является обобщением предшествующей 4-аргументной нотации (известной как операторы Бауэрса[en][1] ) для произвольного числа аргументов.
Правила
Нотация Бауэрса для линейного массива включает следующие правила[2] [3]
- <math>\{a\} = a</math> и <math>\{a,b\} = a^b</math>
- <math>\{a,b,c,\ldots,n,1\} = \{a,b,c,\ldots,n\}</math>
- <math>\{a,1,b,c,\ldots,n\} = a</math>
- <math>\{a,b,1,\ldots,1,c,d,\ldots,n\} = \{a,a,a,\ldots,\{a,b-1,1,\ldots,1,c,d,\ldots,n\},c-1,d,\ldots,n\}</math>.
- Если правила 1-4 не применяются, <math>\{a,b,c,d,\ldots,n\} = \{a,\{a,b-1,c,d,\ldots,n\},c-1,d,\ldots,n\}</math>
Примеры
1) Массив включает 2 элемента
<math>\{10,100\} = 10^{100}=10\uparrow100</math> (применено правило 1)
2) Массив включает 3 элемента
<math>\{10,100,1\} = \{10,100\}</math> (применено правило 2)
<math>\{10,100,2\} = \{10,\{10,99,2\}\}= \{10,\{10,\{10,98,2\}\}\}=\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}}_{\text{100 десяток}}=10\uparrow\uparrow100</math> (применено правило 5)
<math>\{10,100,3\} = \{10,\{10,99,3\},2\}= \{10,\{10,\{10,98,3\},2\},2\}=
\left.
\begin{matrix}
&&\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}}\\
& &\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}} \\
& & \underbrace{\quad \quad \;\; \vdots \quad \quad\;\;}\\
& &\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}} \\
& &\text{10 десяток}
\end{matrix}
\right \} \text {100 }=10\uparrow\uparrow\uparrow100</math> (применено правило 5)
В общем случае для трехэлементного массива верно <math>\{a,b,m\} = a\uparrow^m b</math> в соответствии с нотацией Кнута.
3) Массив включает 4 элемента
<math>\{10,100,1,1\}=\{10,100\} </math> (применено правило 2)
<math>\{10,100,1,2\} = \{10,10,\{10,99,1,2\}\}=\{10,10,\{10,10,\{10,98,1,2\}\}\}=
\left.
\begin{matrix}
&&\underbrace{10\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow 10}\\
& &\underbrace{10\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow 10} \\
& & \underbrace{\qquad\ \;\; \vdots \qquad\;\;}\\
& &\underbrace{10\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow 10} \\
& & \text{10 стрелок}
\end{matrix}
\right \} \text {100 } \approx 10 \rightarrow 10 \rightarrow 100 \rightarrow 2</math> (применено правило 4)
и это уже больше числа Грэма.
<math>\{10,100,2,2\} = \{10,\{10,99,2,2\},1,2\}=\{10,\{10,\{10,98,2,2\},1,2\},1,2\} \approx 10 \rightarrow 10 \rightarrow 100 \rightarrow 3</math> (применено правило 5)
<math>\{10,100,m,2\} \approx 10 \rightarrow 10 \rightarrow 100 \rightarrow (m+1)</math>
В общем случае для четырехэлементного массива верно <math>\{a,b,c,d\}>\underbrace{a \rightarrow a \rightarrow \cdots a \rightarrow a}_{d-1 \quad \rightarrow}\rightarrow (b-1) \rightarrow (c+1) </math> в соответствии с нотацией Конвея.
Таким образом, если массив Бауэрса, включающий 3 элемента, имеет мощность нотации Кнута (предел <math>\omega</math>), то четырехэлементный массив имеет уже мощность нотации Конвея (предел <math>\omega^2</math>), и так далее с добавлением каждого нового элемента. Нотация Бауэрса для линейного массива, включающего конечное число элементов, имеет предел <math>\omega^\omega</math> в терминологии быстрорастущей иерархии.
Напишите отзыв о статье "Нотация массива"
Примечания
- ↑ Elwes Richard. Mathematics 1001: Absolutely Everything That Matters in Mathematics in 1001 Bite-Sized Explanations. — Buffalo, New York 14205, United States: Firefly Books Inc., 2010. — P. 41–42. — ISBN 978-1-55407-719-9.
- ↑ [www.polytope.net/hedrondude/array.htm Exploding Array Function]. Проверено 7 октября 2016.
- ↑ [googology.wikia.com/wiki/Array_notation Array notation]. Проверено 7 октября 2016.
| ||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Нотация массива
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
