Обобщённая схема размещения

Обобщённая схема размещения частиц по ячейкам определяется следующим образом.

Определение

Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.) <math>\eta_1,\dots,\eta_N</math>, сумма которых равна <math>n</math>, связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в. <math>\xi_1,\dots,\xi_N</math> следующим соотношением:

<math>\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+\xi_N=n\}\qquad(1)</math>

для всех целых неотрицательных <math>k_1,\dots,k_N</math>, сумма которых равна <math>n</math>. Тогда говорят, что с.в. <math>\eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N</math> образуют обобщённую схему размещения (ОСР).

Если ОСР симметрична, то есть все с.в. <math>\xi_k</math> имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:

<math>\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)</math>

где <math>p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots</math>

Виды схем

Каноническая схема размещения

Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения, для которой

<math>\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)</math>

где <math>b_0,b_1,\dots</math> — последовательность неотрицательных чисел такая, что <math>b_0>0</math>, радиус сходимости ряда <math>B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k</math> равен 1, максимальный шаг носителя последовательности <math>b_0,b_1,\dots</math> равен 1.

К канонической схеме путём линейного преобразования с.в. <math>\eta_1,\dots,\eta_N</math> сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность <math>\{b_k\}</math> с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости <math>B(x)</math>. Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1).

Классическая схема размещения

Классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой

<math>\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},</math>

не сводится к канонической, так как радиус сходимости <math>B(x)=e^x</math> равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)).

Применение

Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как леса Гальтона-Ватсона, случайные подстановки, рекурсивные леса и т. д.

См. также

• Гигантская компонента

Отрывок, характеризующий Обобщённая схема размещения

Русская армия должна была действовать, как кнут на бегущее животное. И опытный погонщик знал, что самое выгодное держать кнут поднятым, угрожая им, а не по голове стегать бегущее животное.



Когда человек видит умирающее животное, ужас охватывает его: то, что есть он сам, – сущность его, в его глазах очевидно уничтожается – перестает быть. Но когда умирающее есть человек, и человек любимый – ощущаемый, тогда, кроме ужаса перед уничтожением жизни, чувствуется разрыв и духовная рана, которая, так же как и рана физическая, иногда убивает, иногда залечивается, но всегда болит и боится внешнего раздражающего прикосновения.
После смерти князя Андрея Наташа и княжна Марья одинаково чувствовали это. Они, нравственно согнувшись и зажмурившись от грозного, нависшего над ними облака смерти, не смели взглянуть в лицо жизни. Они осторожно берегли свои открытые раны от оскорбительных, болезненных прикосновений. Все: быстро проехавший экипаж по улице, напоминание об обеде, вопрос девушки о платье, которое надо приготовить; еще хуже, слово неискреннего, слабого участия болезненно раздражало рану, казалось оскорблением и нарушало ту необходимую тишину, в которой они обе старались прислушиваться к незамолкшему еще в их воображении страшному, строгому хору, и мешало вглядываться в те таинственные бесконечные дали, которые на мгновение открылись перед ними.
Только вдвоем им было не оскорбительно и не больно. Они мало говорили между собой. Ежели они говорили, то о самых незначительных предметах. И та и другая одинаково избегали упоминания о чем нибудь, имеющем отношение к будущему.
Признавать возможность будущего казалось им оскорблением его памяти. Еще осторожнее они обходили в своих разговорах все то, что могло иметь отношение к умершему. Им казалось, что то, что они пережили и перечувствовали, не могло быть выражено словами. Им казалось, что всякое упоминание словами о подробностях его жизни нарушало величие и святыню совершившегося в их глазах таинства.
Беспрестанные воздержания речи, постоянное старательное обхождение всего того, что могло навести на слово о нем: эти остановки с разных сторон на границе того, чего нельзя было говорить, еще чище и яснее выставляли перед их воображением то, что они чувствовали.

Но чистая, полная печаль так же невозможна, как чистая и полная радость. Княжна Марья, по своему положению одной независимой хозяйки своей судьбы, опекунши и воспитательницы племянника, первая была вызвана жизнью из того мира печали, в котором она жила первые две недели. Она получила письма от родных, на которые надо было отвечать; комната, в которую поместили Николеньку, была сыра, и он стал кашлять. Алпатыч приехал в Ярославль с отчетами о делах и с предложениями и советами переехать в Москву в Вздвиженский дом, который остался цел и требовал только небольших починок. Жизнь не останавливалась, и надо было жить. Как ни тяжело было княжне Марье выйти из того мира уединенного созерцания, в котором она жила до сих пор, как ни жалко и как будто совестно было покинуть Наташу одну, – заботы жизни требовали ее участия, и она невольно отдалась им. Она поверяла счеты с Алпатычем, советовалась с Десалем о племяннике и делала распоряжения и приготовления для своего переезда в Москву.