Параллельность плоскостей

Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем)

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Аналитическое определение

Если плоскости

<math>A_{1}x+B_{1}y+C_1z+D_1 = 0</math> и <math>A_{2}x+B_{2}y+C_2z+D_2 = 0</math>

параллельны, то нормальные векторы <math>N_1(A_1,B_1,C_1)</math> и <math>N_2(A_2,B_2,C_2)</math> коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

<math>\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}</math> есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Пример 1

Плоскости <math>2x-3y-4z+11 = 0</math> и <math>-4x+6y+8z+36=0</math> параллельны, так как <math>\frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{8}{-4}</math>

Пример 2

Плоскости <math>2x-3z-12 = 0 (A_1 = 2, B_1 = 0, C_1 = -3)</math> и <math>4x+4y-6z+7=0 (A_2 = 4, B_2 = 4, C_2 = -6)</math> непараллельны, так как <math>B_1 = 0</math>, а <math>B_2 \ne 0</math>
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
<math>\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{D_2}{D_1},</math> то плоскости совпадают. Так уравнения <math>3x+7y+5z+4=0 </math> и <math>6x+14y+10z+8=0</math> представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Параллельность плоскостей

– Я вас предупреждаю, ротмистр, – говорил один из офицеров, худой, маленький ростом и видимо озлобленный.
– Ведь сказал, что не отдам, – отвечал Денисов.
– Вы будете отвечать, ротмистр, это буйство, – у своих транспорты отбивать! Наши два дня не ели.
– А мои две недели не ели, – отвечал Денисов.
– Это разбой, ответите, милостивый государь! – возвышая голос, повторил пехотный офицер.
– Да вы что ко мне пристали? А? – крикнул Денисов, вдруг разгорячась, – отвечать буду я, а не вы, а вы тут не жужжите, пока целы. Марш! – крикнул он на офицеров.
– Хорошо же! – не робея и не отъезжая, кричал маленький офицер, – разбойничать, так я вам…
– К чог'ту марш скорым шагом, пока цел. – И Денисов повернул лошадь к офицеру.
– Хорошо, хорошо, – проговорил офицер с угрозой, и, повернув лошадь, поехал прочь рысью, трясясь на седле.
– Собака на забог'е, живая собака на забог'е, – сказал Денисов ему вслед – высшую насмешку кавалериста над верховым пехотным, и, подъехав к Ростову, расхохотался.
– Отбил у пехоты, отбил силой транспорт! – сказал он. – Что ж, не с голоду же издыхать людям?
Повозки, которые подъехали к гусарам были назначены в пехотный полк, но, известившись через Лаврушку, что этот транспорт идет один, Денисов с гусарами силой отбил его. Солдатам раздали сухарей в волю, поделились даже с другими эскадронами.
На другой день, полковой командир позвал к себе Денисова и сказал ему, закрыв раскрытыми пальцами глаза: «Я на это смотрю вот так, я ничего не знаю и дела не начну; но советую съездить в штаб и там, в провиантском ведомстве уладить это дело, и, если возможно, расписаться, что получили столько то провианту; в противном случае, требованье записано на пехотный полк: дело поднимется и может кончиться дурно».
Денисов прямо от полкового командира поехал в штаб, с искренним желанием исполнить его совет. Вечером он возвратился в свою землянку в таком положении, в котором Ростов еще никогда не видал своего друга. Денисов не мог говорить и задыхался. Когда Ростов спрашивал его, что с ним, он только хриплым и слабым голосом произносил непонятные ругательства и угрозы…