Потенциальная ступенька

Потенциальная ступенька, в квантовой механике, потенциал вида

<math>U(x)=\frac{1}{2}U_0 \left(1 + \mathrm{th} \frac{x}{2a} \right).</math>

Он монотонно возрастает от 0 на -∞ до U₀ на +∞.

Уравнение Шрёдингера для потенциальной ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для потенциальной ступеньки имеет вид:

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi(x) +\frac{1}{2}U_0 \left(1 + \mathrm{th} \frac{x}{2a} \right)\Psi(x) = E \Psi(x)</math>

Если обозначить <math>k = \sqrt{2 m E/\hbar^2}</math> и <math>\lambda = \sqrt{2 m U_0 a^2/\hbar^2}</math>, то оно примет вид

<math>\Psi(x) + \left(k^2-\frac{\lambda^2}{2 a^2} \left(1 + \mathrm{th} \frac{x}{2a} \right)\right)\Psi(x) = E \Psi(x).</math>

Если сделать замену переменной

<math>y = \frac{1}{1 + e^{\frac{x}{a}}},</math>

то, с учётом обозначения <math>\varkappa = ka</math>, приведётся к виду:

<math>y(1 - y) \Psi(y) + (1 - 2y) \Psi'(y) + \left(\frac{\varkappa^2}{y(1 - y)} - \frac{\lambda^2}{y} \right) \Psi(y) = 0.</math>

Так как точки <math>y = 0</math> и <math>y = 1</math> являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:

<math>\Psi(y) = y^{\nu}(1 - y)^{\mu}f(y).</math>

Если выбрать <math>\nu = \sqrt{\lambda^2 - \varkappa^2}</math> и <math>\mu = i \varkappa</math>, то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:

<math>y(1 - y) f(y) + \left((2 \nu + 1) - (2 \mu + 2 \nu + 2) \right) f'(y) - (\mu + \nu)(\mu + \nu + 1) f(y) = 0.</math>

Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим

<math>f(y) = C \; _2F_1(\mu + \nu, \mu + \nu + 1; 2 \nu + 1; y)</math>

Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае <math>E < V_0</math>:

<math>R = 1, \qquad T = 0.</math>

Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае <math>E > V_0</math> с учётом обозначения <math>\sigma = i \nu</math>:

<math>R = \left(\frac{\mathrm{sh} \pi (\varkappa - \sigma)}{\mathrm{sh} \pi (\varkappa + \sigma)} \right)^2</math>

В пределе <math>a \rightarrow 0</math>

<math>R = \left(\frac{\varkappa - \sigma}{\varkappa + \sigma} \right)^2</math>

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

Отрывок, характеризующий Потенциальная ступенька

Пьер замахал руками и головой, как будто комары или пчелы напали на него.
– Ах, ну что это! я всё спутал. В Москве столько родных! Вы Борис…да. Ну вот мы с вами и договорились. Ну, что вы думаете о булонской экспедиции? Ведь англичанам плохо придется, ежели только Наполеон переправится через канал? Я думаю, что экспедиция очень возможна. Вилльнев бы не оплошал!
Борис ничего не знал о булонской экспедиции, он не читал газет и о Вилльневе в первый раз слышал.
– Мы здесь в Москве больше заняты обедами и сплетнями, чем политикой, – сказал он своим спокойным, насмешливым тоном. – Я ничего про это не знаю и не думаю. Москва занята сплетнями больше всего, – продолжал он. – Теперь говорят про вас и про графа.
Пьер улыбнулся своей доброю улыбкой, как будто боясь за своего собеседника, как бы он не сказал чего нибудь такого, в чем стал бы раскаиваться. Но Борис говорил отчетливо, ясно и сухо, прямо глядя в глаза Пьеру.
– Москве больше делать нечего, как сплетничать, – продолжал он. – Все заняты тем, кому оставит граф свое состояние, хотя, может быть, он переживет всех нас, чего я от души желаю…
– Да, это всё очень тяжело, – подхватил Пьер, – очень тяжело. – Пьер всё боялся, что этот офицер нечаянно вдастся в неловкий для самого себя разговор.
– А вам должно казаться, – говорил Борис, слегка краснея, но не изменяя голоса и позы, – вам должно казаться, что все заняты только тем, чтобы получить что нибудь от богача.
«Так и есть», подумал Пьер.
– А я именно хочу сказать вам, чтоб избежать недоразумений, что вы очень ошибетесь, ежели причтете меня и мою мать к числу этих людей. Мы очень бедны, но я, по крайней мере, за себя говорю: именно потому, что отец ваш богат, я не считаю себя его родственником, и ни я, ни мать никогда ничего не будем просить и не примем от него.