Решение уравнения

В математике, решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Например, уравнение <math>x + y = 2x - 1</math> решается для неизвестного <math>x</math> с помощью замены <math>x = y + 1</math>, так как замена переменной <math>x</math> на выражение <math>y + 1</math> превращает уравнение в тождество: <math>(y + 1) + y = 2 (y + 1) - 1</math>. Кроме того, если положить неизвестной переменную <math>y</math>, тогда уравнение решается с помощью замены <math>y = x - 1</math>. Замена переменной <math>y</math> на выражение <math>x - 1</math> превращает уравнение в тождество: <math>x + (x - 1) = 2x - 1</math>. Также <math>x</math> и <math>y</math> могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например, <math>(x, y) = (1, 0)</math> — то есть, <math>x = 1</math> и <math>y = 0</math>, а в общем, <math>(x, y) = (a + 1, a)</math> для всех возможных значений.

В зависимости от задачи может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».

Литература

• Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
• Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии.
• [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6326/УРАВНЕНИЯ Уравнения] // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
• [krugosvet.ru/node/40130 Уравнение] // Энциклопедия Кругосвет
• [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5763/УРАВНЕНИЕ Уравнение] // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Отрывок, характеризующий Решение уравнения

Когда Ростов подъезжал к полку, он испытывал чувство подобное тому, которое он испытывал, подъезжая к Поварскому дому. Когда он увидал первого гусара в расстегнутом мундире своего полка, когда он узнал рыжего Дементьева, увидал коновязи рыжих лошадей, когда Лаврушка радостно закричал своему барину: «Граф приехал!» и лохматый Денисов, спавший на постели, выбежал из землянки, обнял его, и офицеры сошлись к приезжему, – Ростов испытывал такое же чувство, как когда его обнимала мать, отец и сестры, и слезы радости, подступившие ему к горлу, помешали ему говорить. Полк был тоже дом, и дом неизменно милый и дорогой, как и дом родительский.
Явившись к полковому командиру, получив назначение в прежний эскадрон, сходивши на дежурство и на фуражировку, войдя во все маленькие интересы полка и почувствовав себя лишенным свободы и закованным в одну узкую неизменную рамку, Ростов испытал то же успокоение, ту же опору и то же сознание того, что он здесь дома, на своем месте, которые он чувствовал и под родительским кровом. Не было этой всей безурядицы вольного света, в котором он не находил себе места и ошибался в выборах; не было Сони, с которой надо было или не надо было объясняться. Не было возможности ехать туда или не ехать туда; не было этих 24 часов суток, которые столькими различными способами можно было употребить; не было этого бесчисленного множества людей, из которых никто не был ближе, никто не был дальше; не было этих неясных и неопределенных денежных отношений с отцом, не было напоминания об ужасном проигрыше Долохову! Тут в полку всё было ясно и просто. Весь мир был разделен на два неровные отдела. Один – наш Павлоградский полк, и другой – всё остальное. И до этого остального не было никакого дела. В полку всё было известно: кто был поручик, кто ротмистр, кто хороший, кто дурной человек, и главное, – товарищ. Маркитант верит в долг, жалованье получается в треть; выдумывать и выбирать нечего, только не делай ничего такого, что считается дурным в Павлоградском полку; а пошлют, делай то, что ясно и отчетливо, определено и приказано: и всё будет хорошо.