Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math>. Предположим, что <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> и <math>f</math> — измеримые функции на <math>X</math>, причём <math>f_n(x)\to f(x)</math> почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция <math>g</math>, такая что <math>\forall n\in\N\quad|f_n(x)|\leqslant g(x)</math> почти всюду, то функции <math>f_n,\;f</math> интегрируемы и

<math>\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)\,\mu(dx)=\int\limits_X f(x)\,\mu(dx).</math>

Замечание

Условие мажорированности последовательности <math>\{f_n\}</math> интегрируемой функцией <math>g</math> принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m)</math>, где <math>\mathcal{B}</math> — борелевская <math>\sigma</math>-алгебра на <math>[0,\;1]</math>, а <math>m</math> — мера Лебега на том же пространстве. Определим

<math>f_n(x)=\begin{cases}

n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt] 0, & x\in\left[\dfrac{1}{n},\;1\right].\end{cases}</math> Тогда последовательность <math>\{f_n\}</math> не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

<math>\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).</math>

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов <math>\Omega</math>, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: <math>X_n\to X</math> почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина <math>Y</math>, такая что <math>\forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y</math> почти наверное. Тогда случайные величины <math>X_n,\;X</math> интегрируемы и

<math>\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}X_n=\mathbb{E}X.</math>

Вариации и обобщения

• Теорема Фату — Лебега (англ.)

Отрывок, характеризующий Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Толпа побежала за государем, проводила его до дворца и стала расходиться. Было уже поздно, и Петя ничего не ел, и пот лил с него градом; но он не уходил домой и вместе с уменьшившейся, но еще довольно большой толпой стоял перед дворцом, во время обеда государя, глядя в окна дворца, ожидая еще чего то и завидуя одинаково и сановникам, подъезжавшим к крыльцу – к обеду государя, и камер лакеям, служившим за столом и мелькавшим в окнах.
За обедом государя Валуев сказал, оглянувшись в окно:
– Народ все еще надеется увидать ваше величество.
Обед уже кончился, государь встал и, доедая бисквит, вышел на балкон. Народ, с Петей в середине, бросился к балкону.
– Ангел, отец! Ура, батюшка!.. – кричали народ и Петя, и опять бабы и некоторые мужчины послабее, в том числе и Петя, заплакали от счастия. Довольно большой обломок бисквита, который держал в руке государь, отломившись, упал на перилы балкона, с перил на землю. Ближе всех стоявший кучер в поддевке бросился к этому кусочку бисквита и схватил его. Некоторые из толпы бросились к кучеру. Заметив это, государь велел подать себе тарелку бисквитов и стал кидать бисквиты с балкона. Глаза Пети налились кровью, опасность быть задавленным еще более возбуждала его, он бросился на бисквиты. Он не знал зачем, но нужно было взять один бисквит из рук царя, и нужно было не поддаться. Он бросился и сбил с ног старушку, ловившую бисквит. Но старушка не считала себя побежденною, хотя и лежала на земле (старушка ловила бисквиты и не попадала руками). Петя коленкой отбил ее руку, схватил бисквит и, как будто боясь опоздать, опять закричал «ура!», уже охриплым голосом.
Государь ушел, и после этого большая часть народа стала расходиться.
– Вот я говорил, что еще подождать – так и вышло, – с разных сторон радостно говорили в народе.
Как ни счастлив был Петя, но ему все таки грустно было идти домой и знать, что все наслаждение этого дня кончилось. Из Кремля Петя пошел не домой, а к своему товарищу Оболенскому, которому было пятнадцать лет и который тоже поступал в полк. Вернувшись домой, он решительно и твердо объявил, что ежели его не пустят, то он убежит. И на другой день, хотя и не совсем еще сдавшись, но граф Илья Андреич поехал узнавать, как бы пристроить Петю куда нибудь побезопаснее.