Теорема Хаусдорфа
Теорема (или парадокс) Хаусдорфа — доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества <math>T</math> двумерной сферы <math>S^2</math>, дополнение <math>\bar S^2=S^2\setminus T</math> которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, конгруэнтных друг другу и множеству <math>B\cup C</math>. Впервые опубликована[1] в 1914 году Ф. Хаусдорфом. Эта теорема (как и основанная на её идеях парадокс удвоения шара) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии <math>\bar S^2</math> можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии <math>\bar S^2</math>). Поэтому иногда называется «парадоксом».
Доказательство теоремы существенно использует аксиому выбора. Замена этой аксиомы некоторыми альтернативными позволяет доказать отрицание теоремы Хаусдорфа (то есть невозможность соответствующего разбиения сферы).
Из теоремы следует, что на двумерной сфере не существует конечно-аддитивной меры, определённой на всех подмножествах и принимающей равные значения на конгруэнтных множествах (то есть инвариантной относительно движений сферы).
Иногда под «парадоксом Хаусдорфа» понимают другую теорему, доказанную в той же статье, что и рассматриваемая. Эта теорема даёт пример похожий на множество Витали. Она утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.
Содержание
Идея доказательства
Здесь мы докажем упрощённый вариант теоремы. А именно, мы докажем существование разбиения сферы с выколотым счётным множеством точек (назовём её <math>\bar S^2</math>) на три попарно конгруэнтных куска <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> таких, что <math>B\cup C</math> конгруэнтно подмножеству <math>A</math>. Как и теорема Хаусдорфа, это утверждение показывает, что на двумерной сфере нельзя определить «площадь», значение которой существовало бы для любого подмножества и оставалось бы неизменным при движениях.
Доказательство разбивается на следующие три шага:
- Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими <math>\Gamma</math> на три подмножества.
- Строим свободное изометрическое действие этой группы на <math>\bar S^2</math>.
- Используем разбиение <math>\Gamma</math> и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.
Шаг 1
Рассмотрим группу <math>\Gamma</math> с двумя образующими <math>a</math> и <math>b</math> и соотношениями <math>a^2=1</math> и <math>b^3=1</math> (иначе говоря, <math>\Gamma={\mathbb Z}_2*{\mathbb Z}_3</math>, где <math>*</math> обозначает свободное произведение групп). Группа <math>\Gamma</math> состоит из пустого слова, которое мы обозначаем <math>1</math> (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов <math>b,\;b^{-1}</math> и <math>a</math> такие, что <math>b</math> и <math>b^{-1}</math> чередуются с <math>a</math>. Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как <math>a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots b^{\pm 1}a</math> или <math>b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\ldots b^{\pm 1}a</math>
или <math>a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\ldots ab^{\pm 1}</math> или <math> b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\ldots ab^{\pm 1}</math>.
Группу <math>\Gamma</math> можно разбить следующим образом: пусть <math>{\mathbb A}</math> будет множество всех слов, начинающихся с <math>b</math>, <math>{\mathbb B}</math> будет множество всех слов, начинающихся с <math>b^{-1}</math> и <math>{\mathbb C}</math> будет множество всех остальных элементов <math>\Gamma</math>. Ясно, что
- <math>\Gamma={\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup{\mathbb C},</math>
то есть мы разбили нашу группу <math>\Gamma</math> на три непересекающихся подмножества. Также
- <math>{\mathbb A}=b{\mathbb C},</math>
- <math>{\mathbb B}=b^{-1}{\mathbb C},</math>
- <math>{\mathbb A}\cup{\mathbb B}\subset{\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup\{1,\;a\}=a{\mathbb C}.</math>
Шаг 2
Несложно показать, что существует представление <math>\Gamma</math> с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток <math>\bar S^2</math>. (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы <math>\pi</math> и <math>2\pi/3</math> общего положения и сопоставить их образующим <math>a</math> и <math>b</math>, то индуцированное действие <math>\Gamma</math> будет удовлетворять этому условию).
Шаг 3
Рассмотрим множество <math>X</math>, содержащее по одному элементу каждой орбиты <math>\Gamma</math> на <math>\bar S^2</math> (утверждение о существовании этого множества опирается на аксиому выбора). Тогда наша «колотая» сфера <math>\bar S^2</math> представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:
- <math>\bar S^2=A\cup B\cup C,</math>
где
- <math>A={\mathbb A}X,\; B={\mathbb B}X,\; C={\mathbb C}X.</math>
Используя тот же приём, что и на шаге 1, мы получаем:
- <math>A=bC,</math>
- <math>B=b^{-1}C,</math>
- <math>A\cup B\subset aC,</math>
и, так как <math>a</math> и <math>b</math> являются изометриями, мы получаем, что <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> конгруэнтны, и <math>A\cup B</math> конгруэнтно подмножеству <math>C</math>.
Напишите отзыв о статье "Теорема Хаусдорфа"
Литература
- ↑ F. Hausdorff, [docserver.digizeitschriften.de/contentserver/contentserver?command=docconvert&docid=362514 Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen] (недоступная ссылка с 13-05-2013 (4001 день)), [gdz-srv3.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D25917.html Mathematische Annalen], vol 75. (1914) pp. 428—434.
Отрывок, характеризующий Теорема Хаусдорфа
Пьер так и не успел выбрать себе карьеры в Петербурге и, действительно, был выслан в Москву за буйство. История, которую рассказывали у графа Ростова, была справедлива. Пьер участвовал в связываньи квартального с медведем. Он приехал несколько дней тому назад и остановился, как всегда, в доме своего отца. Хотя он и предполагал, что история его уже известна в Москве, и что дамы, окружающие его отца, всегда недоброжелательные к нему, воспользуются этим случаем, чтобы раздражить графа, он всё таки в день приезда пошел на половину отца. Войдя в гостиную, обычное местопребывание княжен, он поздоровался с дамами, сидевшими за пяльцами и за книгой, которую вслух читала одна из них. Их было три. Старшая, чистоплотная, с длинною талией, строгая девица, та самая, которая выходила к Анне Михайловне, читала; младшие, обе румяные и хорошенькие, отличавшиеся друг от друга только тем, что у одной была родинка над губой, очень красившая ее, шили в пяльцах. Пьер был встречен как мертвец или зачумленный. Старшая княжна прервала чтение и молча посмотрела на него испуганными глазами; младшая, без родинки, приняла точно такое же выражение; самая меньшая, с родинкой, веселого и смешливого характера, нагнулась к пяльцам, чтобы скрыть улыбку, вызванную, вероятно, предстоящею сценой, забавность которой она предвидела. Она притянула вниз шерстинку и нагнулась, будто разбирая узоры и едва удерживаясь от смеха.– Bonjour, ma cousine, – сказал Пьер. – Vous ne me гесоnnaissez pas? [Здравствуйте, кузина. Вы меня не узнаете?]
– Я слишком хорошо вас узнаю, слишком хорошо.
– Как здоровье графа? Могу я видеть его? – спросил Пьер неловко, как всегда, но не смущаясь.
– Граф страдает и физически и нравственно, и, кажется, вы позаботились о том, чтобы причинить ему побольше нравственных страданий.
– Могу я видеть графа? – повторил Пьер.
– Гм!.. Ежели вы хотите убить его, совсем убить, то можете видеть. Ольга, поди посмотри, готов ли бульон для дяденьки, скоро время, – прибавила она, показывая этим Пьеру, что они заняты и заняты успокоиваньем его отца, тогда как он, очевидно, занят только расстроиванием.
Ольга вышла. Пьер постоял, посмотрел на сестер и, поклонившись, сказал:
– Так я пойду к себе. Когда можно будет, вы мне скажите.
Он вышел, и звонкий, но негромкий смех сестры с родинкой послышался за ним.
На другой день приехал князь Василий и поместился в доме графа. Он призвал к себе Пьера и сказал ему:
– Mon cher, si vous vous conduisez ici, comme a Petersbourg, vous finirez tres mal; c'est tout ce que je vous dis. [Мой милый, если вы будете вести себя здесь, как в Петербурге, вы кончите очень дурно; больше мне нечего вам сказать.] Граф очень, очень болен: тебе совсем не надо его видеть.
С тех пор Пьера не тревожили, и он целый день проводил один наверху, в своей комнате.
В то время как Борис вошел к нему, Пьер ходил по своей комнате, изредка останавливаясь в углах, делая угрожающие жесты к стене, как будто пронзая невидимого врага шпагой, и строго взглядывая сверх очков и затем вновь начиная свою прогулку, проговаривая неясные слова, пожимая плечами и разводя руками.
– L'Angleterre a vecu, [Англии конец,] – проговорил он, нахмуриваясь и указывая на кого то пальцем. – M. Pitt comme traitre a la nation et au droit des gens est condamiene a… [Питт, как изменник нации и народному праву, приговаривается к…] – Он не успел договорить приговора Питту, воображая себя в эту минуту самим Наполеоном и вместе с своим героем уже совершив опасный переезд через Па де Кале и завоевав Лондон, – как увидал входившего к нему молодого, стройного и красивого офицера. Он остановился. Пьер оставил Бориса четырнадцатилетним мальчиком и решительно не помнил его; но, несмотря на то, с свойственною ему быстрою и радушною манерой взял его за руку и дружелюбно улыбнулся.
– Вы меня помните? – спокойно, с приятной улыбкой сказал Борис. – Я с матушкой приехал к графу, но он, кажется, не совсем здоров.
– Да, кажется, нездоров. Его всё тревожат, – отвечал Пьер, стараясь вспомнить, кто этот молодой человек.
Борис чувствовал, что Пьер не узнает его, но не считал нужным называть себя и, не испытывая ни малейшего смущения, смотрел ему прямо в глаза.
– Граф Ростов просил вас нынче приехать к нему обедать, – сказал он после довольно долгого и неловкого для Пьера молчания.
– А! Граф Ростов! – радостно заговорил Пьер. – Так вы его сын, Илья. Я, можете себе представить, в первую минуту не узнал вас. Помните, как мы на Воробьевы горы ездили c m me Jacquot… [мадам Жако…] давно.
– Вы ошибаетесь, – неторопливо, с смелою и несколько насмешливою улыбкой проговорил Борис. – Я Борис, сын княгини Анны Михайловны Друбецкой. Ростова отца зовут Ильей, а сына – Николаем. И я m me Jacquot никакой не знал.
Пьер замахал руками и головой, как будто комары или пчелы напали на него.
– Ах, ну что это! я всё спутал. В Москве столько родных! Вы Борис…да. Ну вот мы с вами и договорились. Ну, что вы думаете о булонской экспедиции? Ведь англичанам плохо придется, ежели только Наполеон переправится через канал? Я думаю, что экспедиция очень возможна. Вилльнев бы не оплошал!
Борис ничего не знал о булонской экспедиции, он не читал газет и о Вилльневе в первый раз слышал.
– Мы здесь в Москве больше заняты обедами и сплетнями, чем политикой, – сказал он своим спокойным, насмешливым тоном. – Я ничего про это не знаю и не думаю. Москва занята сплетнями больше всего, – продолжал он. – Теперь говорят про вас и про графа.
