Треугольная матрица

Треугольная матрица — в линейной алгебре квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.

Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице.

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении линейных систем уравнений, когда матрица системы сводится к треугольному виду используя следующую теорему:

Любую ненулевую матрицу <math>A_{n\times n}</math> путём элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов можно привести к треугольному виду.

Любая квадратная матрица, имеющая отличные от нуля главные миноры, представима произведением двух матриц: верхнетреугольной, и нижнетреугольной. Разложение единственно, если фиксированы (заранее оговорены) элементы главной диагонали одной из них.

Решение систем линейных уравнений с треугольной матрицей (обратный ход) не представляет сложностей.

Свойства

• Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали .
• Определитель унитреугольной матрицы равен единице.
• Множество невырожденных верхнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UT_n (k).
• Множество невырожденных нижнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LT_n (k).
• Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT_n (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUT_n (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLT_n (k).
• Множество всех верхнетреугольных матриц с элементами из кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижнетреугольных матриц.
• Группа UT_n разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUT_n нильпотентна.

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений
• Элементарные преобразования матрицы
• Единичная матрица
• Диагональная матрица

Отрывок, характеризующий Треугольная матрица

Наташа посмотрела по тому направлению, по которому смотрел отец, и увидала, Жюли, которая с жемчугами на толстой красной шее (Наташа знала, обсыпанной пудрой) сидела с счастливым видом, рядом с матерью.
Позади их с улыбкой, наклоненная ухом ко рту Жюли, виднелась гладко причесанная, красивая голова Бориса. Он исподлобья смотрел на Ростовых и улыбаясь говорил что то своей невесте.
«Они говорят про нас, про меня с ним!» подумала Наташа. «И он верно успокоивает ревность ко мне своей невесты: напрасно беспокоятся! Ежели бы они знали, как мне ни до кого из них нет дела».
Сзади сидела в зеленой токе, с преданным воле Божией и счастливым, праздничным лицом, Анна Михайловна. В ложе их стояла та атмосфера – жениха с невестой, которую так знала и любила Наташа. Она отвернулась и вдруг всё, что было унизительного в ее утреннем посещении, вспомнилось ей.
«Какое право он имеет не хотеть принять меня в свое родство? Ах лучше не думать об этом, не думать до его приезда!» сказала она себе и стала оглядывать знакомые и незнакомые лица в партере. Впереди партера, в самой середине, облокотившись спиной к рампе, стоял Долохов с огромной, кверху зачесанной копной курчавых волос, в персидском костюме. Он стоял на самом виду театра, зная, что он обращает на себя внимание всей залы, так же свободно, как будто он стоял в своей комнате. Около него столпившись стояла самая блестящая молодежь Москвы, и он видимо первенствовал между ними.
Граф Илья Андреич, смеясь, подтолкнул краснеющую Соню, указывая ей на прежнего обожателя.
– Узнала? – спросил он. – И откуда он взялся, – обратился граф к Шиншину, – ведь он пропадал куда то?
– Пропадал, – отвечал Шиншин. – На Кавказе был, а там бежал, и, говорят, у какого то владетельного князя был министром в Персии, убил там брата шахова: ну с ума все и сходят московские барыни! Dolochoff le Persan, [Персианин Долохов,] да и кончено. У нас теперь нет слова без Долохова: им клянутся, на него зовут как на стерлядь, – говорил Шиншин. – Долохов, да Курагин Анатоль – всех у нас барынь с ума свели.
В соседний бенуар вошла высокая, красивая дама с огромной косой и очень оголенными, белыми, полными плечами и шеей, на которой была двойная нитка больших жемчугов, и долго усаживалась, шумя своим толстым шелковым платьем.
Наташа невольно вглядывалась в эту шею, плечи, жемчуги, прическу и любовалась красотой плеч и жемчугов. В то время как Наташа уже второй раз вглядывалась в нее, дама оглянулась и, встретившись глазами с графом Ильей Андреичем, кивнула ему головой и улыбнулась. Это была графиня Безухова, жена Пьера. Илья Андреич, знавший всех на свете, перегнувшись, заговорил с ней.
– Давно пожаловали, графиня? – заговорил он. – Приду, приду, ручку поцелую. А я вот приехал по делам и девочек своих с собой привез. Бесподобно, говорят, Семенова играет, – говорил Илья Андреич. – Граф Петр Кириллович нас никогда не забывал. Он здесь?