Экстремум

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция <math>f:M \subset \R \to \R,</math> и <math>x_0 \in M^0</math> — внутренняя точка области определения <math>f.</math> Тогда

• <math>x_0</math> называется точкой локального максимума функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что

  <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>

• <math>x_0</math> называется точкой локального минимума функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что

  <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>

Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• <math>x_0</math> называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

  <math>\forall x\in M\quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>

• <math>x_0</math> называется точкой абсолютного минимума, если

  <math>\forall x\in M\quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>

Значение функции <math>f(x_0)</math> называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция <math>f,</math> определённая на множестве <math>M,</math> может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, <math>f(x) = x,\; x\in (-1,1).</math>

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка <math>x_0</math> является точкой экстремума функции <math>f</math>, определенной в некоторой окрестности точки <math>x_0</math>.

Тогда либо производная <math>f'(x_0)</math> не существует, либо <math>f'(x_0) = 0</math>.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция <math>f\in C(x_0)</math> непрерывна в <math>x_0\in M^0,</math> и существуют конечные или бесконечные односторонние производные <math>f'_+(x_0), f'_-(x_0)</math>. Тогда при условии

<math>f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0</math>

<math>x_0</math> является точкой строгого локального максимума. А если

<math>f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,</math>

то <math>x_0</math> является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке <math>x_0</math>.

• Пусть функция <math>f</math> непрерывна и дважды дифференцируема в точке <math>x_0</math>. Тогда при условии

<math>f'(x_0)=0</math> и <math>f(x_0) < 0</math>

<math>x_0</math> является точкой локального максимума. А если

<math>f'(x_0)=0</math> и <math>f(x_0) > 0</math>

то <math>x_0</math> является точкой локального минимума.

• Пусть функция <math>f</math> дифференцируема <math>n</math> раз в точке <math>x_0</math> и <math>f'(x_0)=f(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0</math>, а <math>f^{(n)}(x_0)\ne 0</math>.

Если <math>n</math> чётно и <math>f^{(n)}(x_0)<0</math>, то <math>x_0</math> — точка локального максимума. Если <math>n</math> чётно и <math>f^{(n)}(x_0)>0</math>, то <math>x_0</math> — точка локального минимума. Если <math>n</math> нечётно, то экстремума нет.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Отрывок, характеризующий Экстремум

– Закидана дорога?
– Закидана, ваше сиятельство; простите, ради Бога, по одной глупости.
Князь перебил его и засмеялся своим неестественным смехом.
– Ну, хорошо, хорошо.
Он протянул руку, которую поцеловал Алпатыч, и прошел в кабинет.
Вечером приехал князь Василий. Его встретили на прешпекте (так назывался проспект) кучера и официанты, с криком провезли его возки и сани к флигелю по нарочно засыпанной снегом дороге.
Князю Василью и Анатолю были отведены отдельные комнаты.
Анатоль сидел, сняв камзол и подпершись руками в бока, перед столом, на угол которого он, улыбаясь, пристально и рассеянно устремил свои прекрасные большие глаза. На всю жизнь свою он смотрел как на непрерывное увеселение, которое кто то такой почему то обязался устроить для него. Так же и теперь он смотрел на свою поездку к злому старику и к богатой уродливой наследнице. Всё это могло выйти, по его предположению, очень хорошо и забавно. А отчего же не жениться, коли она очень богата? Это никогда не мешает, думал Анатоль.
Он выбрился, надушился с тщательностью и щегольством, сделавшимися его привычкою, и с прирожденным ему добродушно победительным выражением, высоко неся красивую голову, вошел в комнату к отцу. Около князя Василья хлопотали его два камердинера, одевая его; он сам оживленно оглядывался вокруг себя и весело кивнул входившему сыну, как будто он говорил: «Так, таким мне тебя и надо!»
– Нет, без шуток, батюшка, она очень уродлива? А? – спросил он, как бы продолжая разговор, не раз веденный во время путешествия.
– Полно. Глупости! Главное дело – старайся быть почтителен и благоразумен с старым князем.
– Ежели он будет браниться, я уйду, – сказал Анатоль. – Я этих стариков терпеть не могу. А?
– Помни, что для тебя от этого зависит всё.
В это время в девичьей не только был известен приезд министра с сыном, но внешний вид их обоих был уже подробно описан. Княжна Марья сидела одна в своей комнате и тщетно пыталась преодолеть свое внутреннее волнение.
«Зачем они писали, зачем Лиза говорила мне про это? Ведь этого не может быть! – говорила она себе, взглядывая в зеркало. – Как я выйду в гостиную? Ежели бы он даже мне понравился, я бы не могла быть теперь с ним сама собою». Одна мысль о взгляде ее отца приводила ее в ужас.
Маленькая княгиня и m lle Bourienne получили уже все нужные сведения от горничной Маши о том, какой румяный, чернобровый красавец был министерский сын, и о том, как папенька их насилу ноги проволок на лестницу, а он, как орел, шагая по три ступеньки, пробежал зa ним. Получив эти сведения, маленькая княгиня с m lle Bourienne,еще из коридора слышные своими оживленно переговаривавшими голосами, вошли в комнату княжны.
– Ils sont arrives, Marieie, [Они приехали, Мари,] вы знаете? – сказала маленькая княгиня, переваливаясь своим животом и тяжело опускаясь на кресло.
Она уже не была в той блузе, в которой сидела поутру, а на ней было одно из лучших ее платьев; голова ее была тщательно убрана, и на лице ее было оживление, не скрывавшее, однако, опустившихся и помертвевших очертаний лица. В том наряде, в котором она бывала обыкновенно в обществах в Петербурге, еще заметнее было, как много она подурнела. На m lle Bourienne тоже появилось уже незаметно какое то усовершенствование наряда, которое придавало ее хорошенькому, свеженькому лицу еще более привлекательности.