K-функция

K-функция, обычно обозначаемая K(z), является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.

Формально, K-функция определяется, как

<math>K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].</math>

Также определяется в замкнутой форме:

<math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]</math>

где ζ'(z) обозначает производную дзета-функции Римана, ζ(a,z) — это дзета-функция Гурвица и

<math>\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.</math>

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса; для целых чисел n можно написать:

<math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.</math>

Также

<math>K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.</math>

Для положительных аргументов принимает минимальное значение <math>0.879786843\dots</math> в точке <math>x_{min}=0.53768886\dots.</math>

Ссылки

• [mathworld.wolfram.com/K-Function.html К-функция на mathworld]

Отрывок, характеризующий K-функция

Он хотел уйти.
– Постойте, два слова. Une fois passe aux gardes… [Раз он перейдет в гвардию…] – Она замялась: – Вы хороши с Михаилом Иларионовичем Кутузовым, рекомендуйте ему Бориса в адъютанты. Тогда бы я была покойна, и тогда бы уж…
Князь Василий улыбнулся.
– Этого не обещаю. Вы не знаете, как осаждают Кутузова с тех пор, как он назначен главнокомандующим. Он мне сам говорил, что все московские барыни сговорились отдать ему всех своих детей в адъютанты.
– Нет, обещайте, я не пущу вас, милый, благодетель мой…
– Папа! – опять тем же тоном повторила красавица, – мы опоздаем.
– Ну, au revoir, [до свиданья,] прощайте. Видите?
– Так завтра вы доложите государю?
– Непременно, а Кутузову не обещаю.
– Нет, обещайте, обещайте, Basile, [Василий,] – сказала вслед ему Анна Михайловна, с улыбкой молодой кокетки, которая когда то, должно быть, была ей свойственна, а теперь так не шла к ее истощенному лицу.