Метод Эйлера — различия между версиями

Текущая версия на 04:24, 28 октября 2016

Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка:

где функция <math>f</math> определена на некоторой области <math>D\subset R^2</math>. Решение ищется на интервале <math>(x_0,b]</math>. На этом интервале введем узлы:

Приближенное решение в узлах <math>x_i</math>, которое обозначим через <math>y_i</math>, определяется по формуле:

Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности метода на шаге и в целом

Погрешность на шаге или локальная погрешность — это разность между численным решением после одного шага вычисления <math>y_i</math> и точным решением в точке <math>x_i = x_{i-1}+h</math>. Численное решение задаётся формулой

<math> y_i = y_{i-1} + h f(x_{i-1}, y_{i-1}). \quad</math>

Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:

<math> y(x_{i-1} + h) = y(x_{i-1}) + h y'(x_{i-1}) + O(h^2). </math>

Локальную ошибку<math>L</math> получаем, вычитая из второго равенства первое:

<math> L = y(x_{i-1} + h) - y_i = O(h^2) . </math>

Это справедливо, если <math>y</math> имеет непрерывную вторую производную^[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость <math> f(x, y)</math> по обоим аргументам^[3].

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность — это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется <math> S/h </math> шагов, где <math> S</math> длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода <math>G = O(h^2S/h)=O(h)</math>.

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге <math> O(h^2) </math> и погрешность в целом <math>O(h)</math>^[3].

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модификации и общения

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

Коррекция:

Для повышения точности корректирующую итерацию можно повторить, подставляя <math>\tilde y_i=y_i</math> .

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо как минимум дважды вычислять <math>f(x, y)</math>. Метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Двухшаговый метод Адамса — Башфорта

Другой способ повысить точность метода заключается в использовании не одного, а нескольких вычисленных ранее значений функции:

<math> y_{i+1} = y_i + \tfrac32 h f(x_{i}, y_{i}) - \tfrac12 h f(x_{i-1}, y_{i-1}). </math>

Это линейный многошаговый метод.

См. также

• Метод Рунге — Кутты

Литература

• Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. [math.ru/lib/files/djvu/eiler/eiler_int1.djvu]
• Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Примечания

Метод конечных разностей Общие статьи Метод конечных разностей •</span> Разностная схема • Разностное уравнение</div></td></tr> </td></tr> Виды разностных схем Метод Эйлера •</span> Метод Рунге — Кутты • Метод Адамса • Интегрирование Верле • Метод конечных разностей во временной области</div></td></tr></table></td></tr></table>