Накрытие
Накрытие — это непрерывное сюръективное отображение <math>p:X\to Y</math> линейно связного пространства <math>X</math> на линейно связное пространство <math>Y</math>, такое, что у любой точки <math>y \in Y </math> найдется окрестность <math>U\subset Y</math>, полный прообраз которой <math>p^{-1}(U)</math> представляет собой объединение непересекающихся областей <math>V_k\subset X</math>:
- <math>p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots</math>,
причём на каждой области <math>V_k</math> отображение <math>p:\,V_k\to U</math> является гомеоморфизмом между <math>V_k</math> и <math>U</math>.
Содержание
Формальное определение
Отображение <math>p:X\to Y</math> линейно связного пространства <math>X</math> на линейно связное пространство <math>Y</math> называется накрытием, если у любой точки <math>y\in Y</math> имеется окрестность <math>U\subset Y</math>, для которой существует гомеоморфизм <math>h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma</math>, где <math>\Gamma</math> — дискретное пространство, такое что если <math>\pi:U\times \Gamma\to U</math> обозначает естественную проекцию, то
- <math>p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h</math>.
Связанные определения
- Пространство Y называется базой накрытия, а X — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
- Прообраз <math>p^{-1}(y)</math> точки <math>y \in Y</math> называют слоем над точкой <math>y</math>.
- Число областей Vk в полном прообразе <math>p^{-1}(U)</math> называется числом листов.
- Если это число конечно и равно n, то накрытие называется n-листным.
- Накрытие называется универсальным если накрывающее пространство односвязно.
Примеры
- Пусть <math>S^1</math> обозначает единичную окружность комплексной плоскости <math>S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}</math>.
- <math>p: {\mathbb R}\to S^1</math>, <math>p:x\mapsto e^{2\pi i x}</math>.
- <math>p:S^1\to S^1</math>, <math>p:z\mapsto z^k</math>, где <math>k\neq 0</math>, <math>k \in {\mathbb Z}</math>.
Свойства
- Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
- Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
- Все двулистные накрытия регулярны.
- Универсальное накрытие регулярно.
Связь с фундаментальной группой
Обычно накрытие рассматривается в предположении связности <math>X</math> и <math>Y</math> и также локальной односвязности <math>Y</math>. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами <math>\pi_1(X,x_0)</math> и <math>\pi_1(Y, y_0)</math>: если <math>p(x_0)=y_0</math>, то индуцированный гомоморфизм <math>p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0)</math>, отображает <math>\pi_1(X,x_0)</math> изоморфно на подгруппу в <math>\pi_1(Y, y_0)</math> и, меняя точку <math>x_0</math> в <math>p^{-1}(y_0)</math>, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.
Если этот класс состоит из одной подгруппы <math>H</math> (т. е. <math>H</math> — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы <math>G=\pi_1 (Y, y_0)/H</math> на <math>X</math>, причём <math>p</math> оказывается факторотображением на пространство орбит <math>Y</math>. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле <math>q:[0,1] \to Y</math>, <math>q(0)=q(1)=y_0</math>, сопоставить единственный путь <math>\tilde q: [0,1]\to X</math>, для которого <math>\tilde q(0) = x_0</math> и <math>p\tilde q=q</math>, то точка <math>\tilde q(1)</math> будет зависеть только от класса этой петли в <math>G</math> и от точки <math>x_0</math>. Таким образом, элементу из <math>G</math> отвечает перестановка точек в <math>p^{-1}(y_0)</math>. Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки <math>y_0</math>. Это определяет гомеоморфизм <math>X</math> комутирующий с <math>p</math>.
В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в <math>p^{-1}(y_0)</math>, то есть имеется действие <math>\pi_1(Y, y_0)</math> на <math>p^{-1}(y_0)</math>, называемый монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого <math>G=\pi_1(Y, y_0)</math> или, что эквивалентно, X — односвязно.
Вообще, по каждой группе <math>H\subset \pi_1(Y, y_0)</math> однозначно строится накрытие <math>p:X\to Y</math>, для которого образ <math>\pi_1(X, x_0)</math> есть <math>H</math>.
Для любого отображения <math>f</math> линейно связного пространства <math>(Z, z_0)</math> в <math>(Y, y_0)</math> поднятие его до отображения <math>\tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0)</math> существует тогда и только тогда, когда образ <math>f(\pi_1(Z, z_0))</math> лежит в <math>H</math>. Между накрытиями <math>Y</math> имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в <math>\pi_1(Y, y_0)</math>. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.
Литература
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
- Болтянский В. Г., Ефремович В. А., [www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm Наглядная топология] выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.
