Сложные проценты

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или при наличии долга проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна <math>x\cdot(1 + a)^n</math>, где x — начальная сумма вложенных средств, 0 < a < 1 — годовая процентная ставка, n — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в <math>(1 + s/100)</math> раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + s/100) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + s/100) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в <math>(1 + s/100)^2</math> раз. За три года — в <math>(1 + s/100)^3</math> раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в <math>(1 + s/100)^{N}</math> раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

<math>x\cdot(1 + (1+s/100)^{1/12}-1)^m = x\cdot( 1+s/100)^{m/12},</math>

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

Пример капитализации процентов

Хорошей иллюстрацией является известная евангельская притча о том, как одна бедная вдова во времена Иисуса Христа принесла в жертву в храм последнее, что у неё было — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что в то время существовали банки, и она внесла бы одну монетку в банк, то какая сумма накопилась бы на банковском счёте к сегодняшнему дню, учитывая, что банк обеспечивает капитализацию процентов в сумме, скажем, пять процентов годовых?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Нам легче будет говорить, не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в <math>(1 + 0,05)^2</math> раз. За три года — в <math>(1 + 0,05)^3</math> раз.

К 2016 году первичный вклад вырос бы до величины в <math>(1 + 0,05)^{2016}</math> раз больше первоначальной. Величина <math>(1 + 0,05)^{2016}</math> составляет <math>5,22\cdot10^{42}</math>. При первоначальном вкладе в одну копейку к 2012 году сумма составит <math>5,22\cdot10^{40}</math> рублей, т.е. свыше 52 додециллионов.

Первоначальная идея применения к старинной притче оценок в сложных процентах принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 zagadek matematycznych».

Литература

• Джон К. Халл. Глава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, Futures and Other Derivatives. — 6-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 133-165. — ISBN 0-13-149908-4.
• Нечаев В. М., Яроцкий В. Г.,. Процент, в экономике и с юридической точки зрения // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• [www.prostobank.ua/depozity/stati/prizrachnaya_vygoda_nyuansy_depozitov_s_kapitalizatsiey_protsentov Prostobank — Призрачная выгода: нюансы депозитов с капитализацией процентов]
• [calcru.ru/bank-calculators/slozniy-procent.html Описание Сложного процента для банковских вкладов.]

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)