Сужение функции — различия между версиями

Текущая версия на 19:40, 28 октября 2016

Сужение функции на подмножество <math>X</math> её области определения <math>D\supset X</math> — функция с областью определения <math>X</math>, совпадающая с исходной функцией на всём <math>X</math>.

Сужение функции <math>f</math> на <math>X</math> обычно обозначается <math>f|_X</math> или <math>f|X</math>. Так, для <math>f:A\to B</math>, и <math>X\subset A</math>, <math>g=f|_X</math> означает, что <math>g:X\to B</math> и <math>g(x)=f(x)</math> для любого <math>x\in X</math>.

Определение

Пусть дано отображение <math>f\colon X\to Y</math> и <math>M\subset X</math>.

Функция <math>g\colon M\to Y</math>, которая принимает на <math>M</math> те же значения, что и функция <math>f</math>, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции <math>f</math> на множество <math>M</math>.

Вариации и обобщения

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков^{[уточнить]}.
• Для функции <math>f:A\to B</math> рассматривают также сужение на подмножество <math>A\times B</math>

Продолжение

Если функция <math>g\colon M\to Y</math> такова, что она является сужением для некоторой функции <math>f\colon X\to Y</math>, то функция <math>f</math>, в свою очередь, называется продолжением функции <math>g</math> на множество <math>X</math>.

Имея некоторую функцию <math>f\colon X\to Y</math>, её можно продолжить бесконечным числом способов на множество <math>M\supset X</math>, в том числе непрерывным образом. Однако, если функция <math>f</math> — аналитическая функция в <math>X</math>, то существует единственное аналитическое продолжение на <math>M</math>.