Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты <math>E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}</math>, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование <math>X(z)</math> дискретного временного сигнала <math>x[n]</math> задаётся как:

<math>X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.</math>

где <math>n</math> — целое, <math>z</math> — комплексное число.

<math>z=Ae^{j\varphi},</math>

где <math>A</math> — амплитуда, а <math>\varphi</math> — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда <math>x[n]</math> определена только для <math>n\geqslant0</math>, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

<math>X(z)=Z\{x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}.</math>

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

<math>x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{C}X(z)z^{n-1}\,dz,</math>

где <math>C</math> — контур, охватывающий область сходимости <math>X(z)</math>. Контур должен содержать все вычеты <math>X(z)</math>.

Положив в предыдущей формуле <math>z=re^{j\varphi}</math>, получим эквивалентное определение: <math>x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi.</math>

Область сходимости

Область сходимости <math>D</math> представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

<math>D=\left\{z \Big| \lim_{m\to\infty}\sum_{n=-m}^{m}x[n]z^{-n} = const < \infty\right\}.</math>

Пример 1 (без области сходимости)

Пусть <math>x[n]=0{,}5^n</math>. Раскрывая <math>x[n]</math> на интервале <math>(-\infty,\;\infty)</math>, получаем

<math>x[n]=\{\ldots,\;0{,}5^{-3},\;0{,}5^{-2},\;0{,}5^{-1},\;1,\;0{,}5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}=\{\ldots,\;2^3,\;2^2,\;2,\;1,\;0{,}5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}.</math>

Смотрим на сумму:

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\infty.</math>

Поэтому, не существует таких значений <math>z</math>, которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Таблица некоторых Z-преобразований

Обозначения:

• <math>\theta[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n\geqslant0 \\ 0, n<0\end{array}\right.</math> — функция Хевисайда.
• <math>\delta[n]=1</math> для <math>n=0</math>, иначе <math>\delta[n]=0</math> — дельта Кронекера.

	Сигнал, <math>x[n]</math>	Z-преобразование, <math>X(z)</math>	Область сходимости
1	<math>\delta[n]</math>	<math>1</math>	<math>\forall z</math>
2	<math>\delta[n-n_0]</math>	<math>\frac{1}{z^{n_0}}</math>	<math>z\neq 0</math>
3	<math>\theta[n]</math>	<math>\frac{z}{z-1}</math>	z|>1</math>
4	<math>a^n\theta[n]</math>	<math>\frac{1}{1-az^{-1}}</math>	z|>|a|</math>
5	<math>na^n\theta[n]</math>	<math>\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}</math>	z|>|a|</math>
6	<math>-a^n\theta[-n-1]</math>	<math>\frac{1}{1-az^{-1}}</math>	z|<|a|</math>
7	<math>-na^n\theta[-n-1]</math>	<math>\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}</math>	z|<|a|</math>
8	<math>\cos(\omega_0n)\theta[n]</math>	<math>\frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}</math>	z|>1</math>
9	<math>\sin(\omega_0n)\theta[n]</math>	<math>\frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}</math>	z|>1</math>
10	<math>a^n\cos(\omega_0n)\theta[n]</math>	<math>\frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}</math>	z|>|a|</math>
11	<math>a^n\sin(\omega_0n)\theta[n]</math>	<math>\frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}</math>	z|>|a|</math>

См. также

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html Z-Transform] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [lib.mexmat.ru/books/1774 Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.]