Автоморфная функция

Автоморфная функция — функция <math>f</math>, аналитическая в некоторой области <math>G\subset\mathbb C</math> и удовлетворяющая в этой области соотношению <math>f(g(z))=f(z)</math>, где <math>g</math> — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

История

Класс автоморфных функций, обобщающий класс эллиптических функций, был введен и исследован французским математиком Анри Пуанкаре в работах 1880-х гг.

На протяжении XIX века практически все видные математики Европы участвовали в развитии теории эллиптических функций, оказавшихся чрезвычайно полезными при решении дифференциальных уравнений. Всё же эти функции не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, и многие математики стали задумываться над тем, нельзя ли расширить класс эллиптических функций так, чтобы новые функции были применимы и для тех уравнений, где эллиптические функции бесполезны.

Пуанкаре впервые нашёл эту мысль в статье Лазаря Фукса, виднейшего в те годы специалиста по линейным дифференциальным уравнениям (1880). В течение нескольких лет Пуанкаре далеко развил идею Фукса, создав теорию нового класса функций, который он, с обычным для Пуанкаре равнодушием к вопросам приоритета, предложил назвать фуксовы функции (фр. les fonctions fuchsiennes) — хотя имел все основания дать этому классу своё имя. Дело закончилось тем, что Феликс Клейн предложил название «автоморфные функции», которое и закрепилось в науке. Пуанкаре вывел разложение этих функций в ряды, доказал теорему сложения. Эти открытия «можно по справедливости считать вершиной всего развития теории аналитических функций комплексного переменного в XIX веке».

При разработке теории автоморфных функций Пуанкаре обнаружил их связь с геометрией Лобачевского, что позволило ему изложить многие вопросы теории этих функций на геометрическом языке. Он опубликовал наглядную модель геометрии Лобачевского, с помощью которой иллюстрировал материал по теории функций.

После работ Пуанкаре эллиптические функции из приоритетного направления науки превратились в ограниченный частный случай более мощной общей теории. В XX веке результаты Пуанкаре были распространены на случай функций многих переменных (см., например, модулярные функции). Предприняты попытки ещё более обобщить класс автоморфных функций (автоморфные формы).

Применение

Автоморфные функции находят широкое применение во многих областях точных наук. В частности:

• Они позволяют решить любое линейное дифференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами.
• Доказана возможность униформизации алгебраических кривых, то есть представления их через автоморфные функции. Это 22-я проблема Гильберта, решённая Пуанкаре в 1907 году.
• Методы данной теории эффективно применяются в алгебраической геометрии, теории алгебраических групп, теории многообразий и даже в теории чисел.

Литература

• Голубев В. В. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Golubev1961ru.djvu Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции]. М.: Физматлит, 1961.
• Клейн Ф. [ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/razvitie.htm Лекции о развитии математики в XIX столетии]. Том I, глава 8. М.-Л.: ГОНТИ, 1937. 432 с.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века, в трёх томах. — М.: Наука, 1978—1987. — Т. 2.
• Пуанкаре А. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/PuankareTrudy-3ru.djvu Избранные труды, в трёх томах.] Том 3. М.: Наука, 1971—1974.
• Форд Л. P., Автоморфные функции, пер. с англ., М.— Л., 1936;
• Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. М.: Мир, 1973.
• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.

Ссылки

• Сильвестров В. В. [www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0003_124.pdf Автоморфные функции - обобщение периодических функций] // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — № 3. — С. 124-127.

Отрывок, характеризующий Автоморфная функция

С раннего утра начали двигаться щегольски вычищенные и убранные войска, выстраиваясь на поле перед крепостью. То двигались тысячи ног и штыков с развевавшимися знаменами и по команде офицеров останавливались, заворачивались и строились в интервалах, обходя другие такие же массы пехоты в других мундирах; то мерным топотом и бряцанием звучала нарядная кавалерия в синих, красных, зеленых шитых мундирах с расшитыми музыкантами впереди, на вороных, рыжих, серых лошадях; то, растягиваясь с своим медным звуком подрагивающих на лафетах, вычищенных, блестящих пушек и с своим запахом пальников, ползла между пехотой и кавалерией артиллерия и расставлялась на назначенных местах. Не только генералы в полной парадной форме, с перетянутыми донельзя толстыми и тонкими талиями и красневшими, подпертыми воротниками, шеями, в шарфах и всех орденах; не только припомаженные, расфранченные офицеры, но каждый солдат, – с свежим, вымытым и выбритым лицом и до последней возможности блеска вычищенной аммуницией, каждая лошадь, выхоленная так, что, как атлас, светилась на ней шерсть и волосок к волоску лежала примоченная гривка, – все чувствовали, что совершается что то нешуточное, значительное и торжественное. Каждый генерал и солдат чувствовали свое ничтожество, сознавая себя песчинкой в этом море людей, и вместе чувствовали свое могущество, сознавая себя частью этого огромного целого.
С раннего утра начались напряженные хлопоты и усилия, и в 10 часов всё пришло в требуемый порядок. На огромном поле стали ряды. Армия вся была вытянута в три линии. Спереди кавалерия, сзади артиллерия, еще сзади пехота.
Между каждым рядом войск была как бы улица. Резко отделялись одна от другой три части этой армии: боевая Кутузовская (в которой на правом фланге в передней линии стояли павлоградцы), пришедшие из России армейские и гвардейские полки и австрийское войско. Но все стояли под одну линию, под одним начальством и в одинаковом порядке.
Как ветер по листьям пронесся взволнованный шопот: «едут! едут!» Послышались испуганные голоса, и по всем войскам пробежала волна суеты последних приготовлений.
Впереди от Ольмюца показалась подвигавшаяся группа. И в это же время, хотя день был безветренный, легкая струя ветра пробежала по армии и чуть заколебала флюгера пик и распущенные знамена, затрепавшиеся о свои древки. Казалось, сама армия этим легким движением выражала свою радость при приближении государей. Послышался один голос: «Смирно!» Потом, как петухи на заре, повторились голоса в разных концах. И всё затихло.
В мертвой тишине слышался топот только лошадей. То была свита императоров. Государи подъехали к флангу и раздались звуки трубачей первого кавалерийского полка, игравшие генерал марш. Казалось, не трубачи это играли, а сама армия, радуясь приближению государя, естественно издавала эти звуки. Из за этих звуков отчетливо послышался один молодой, ласковый голос императора Александра. Он сказал приветствие, и первый полк гаркнул: Урра! так оглушительно, продолжительно, радостно, что сами люди ужаснулись численности и силе той громады, которую они составляли.
Ростов, стоя в первых рядах Кутузовской армии, к которой к первой подъехал государь, испытывал то же чувство, какое испытывал каждый человек этой армии, – чувство самозабвения, гордого сознания могущества и страстного влечения к тому, кто был причиной этого торжества.
Он чувствовал, что от одного слова этого человека зависело то, чтобы вся громада эта (и он, связанный с ней, – ничтожная песчинка) пошла бы в огонь и в воду, на преступление, на смерть или на величайшее геройство, и потому то он не мог не трепетать и не замирать при виде этого приближающегося слова.
– Урра! Урра! Урра! – гремело со всех сторон, и один полк за другим принимал государя звуками генерал марша; потом Урра!… генерал марш и опять Урра! и Урра!! которые, всё усиливаясь и прибывая, сливались в оглушительный гул.
Пока не подъезжал еще государь, каждый полк в своей безмолвности и неподвижности казался безжизненным телом; только сравнивался с ним государь, полк оживлялся и гремел, присоединяясь к реву всей той линии, которую уже проехал государь. При страшном, оглушительном звуке этих голосов, посреди масс войска, неподвижных, как бы окаменевших в своих четвероугольниках, небрежно, но симметрично и, главное, свободно двигались сотни всадников свиты и впереди их два человека – императоры. На них то безраздельно было сосредоточено сдержанно страстное внимание всей этой массы людей.