Эпсилон-сеть
- Правильный заголовок этой статьи — ε-сеть. Он показан некорректно из-за технических ограничений.
ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества <math>M</math> метрического пространства <math>X</math> есть множество <math>Z</math> из того же пространства <math>X</math> такое, что для любой точки <math>x\in M</math> найдётся точка <math>z\in Z</math>, удалённая от <math>x</math> не более чем на ε.
Содержание
Связанные определения
- Метрическое пространство, в котором для каждого <math>\varepsilon> 0</math> существует конечная <math>\varepsilon</math>-сеть, называется вполне ограниченным.
- Метрика <math>\rho</math> на множестве <math>X</math> называется вполне ограниченной, если <math>(X,\rho)</math> — вполне ограниченное метрическое пространство.
- Семейство метрических пространств <math>(X_\alpha,\rho_\alpha)</math> таких, что для для любого <math>\varepsilon>0</math> есть натуральное число <math>N_\varepsilon</math> такое, что каждое пространство <math>(X_\alpha,\rho_\alpha)</math> допускает <math>\varepsilon> 0</math>-сеть из не более чем <math>N_\varepsilon</math> точек называется универсально вполне ограниченной.
- Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.
- Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.
Примеры
- Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
- Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для <math>\varepsilon\ge 0{,}5</math>
Свойства
- Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
- Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества <math>M</math> метрического пространства <math>X</math> необходимо, а в случае полноты пространства <math>X</math> и достаточно, чтобы при любом <math> \varepsilon > 0 </math> существовала конечная ε-сеть из элементов множества <math>M</math>.
Необходимость
Пусть множество <math>M</math> (относительно) компактно. Зафиксируем <math> \varepsilon > 0 </math> и рассмотрим любой элемент <math>x_{1} \in M</math>. Если <math> \rho(x, x_{1}) < \varepsilon </math> для любого <math>x \in M</math>, то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент <math>x_{2} \in M</math> такой, что <math> \rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon </math>. Имеются далее две возможности. Либо для любого <math>x \in M</math> по крайней мере одно из чисел <math>\rho(x, x_{1})</math> или <math>\rho(x, x_{2})</math> меньше <math> \varepsilon </math>, и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент <math>x_{3} \in M</math> такой, что <math> \rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon </math>, <math> \rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon </math>, и так далее. Покажем, что процесс построения точек <math>x_{1}, x_{2}, \ldots</math> оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то плучилась бы последовательность <math>x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots</math>, для которой <math> \rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon </math> при <math>i \neq j</math>. Но тогда ни сама последовательность <math>\{ x_{n} \},</math> ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества <math>M</math>. Итак, для компактного множества <math>M</math> мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.
Достаточность
Пусть при любом <math> \varepsilon > 0 </math> существует ε-сеть для множества <math>M</math>. Возьмем числовую последовательность <math>\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g} </math>, где <math>\varepsilon_{n} \rightarrow 0</math> при <math>n \rightarrow \infty</math> и для каждого <math>n</math> построим <math> \varepsilon_{n} </math>-сеть <math>N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n
и <math>x_{k+p}^{(k+p)}</math> при <math>p>0</math> входят в <math>k</math>-ю подпоследовательность, а <math>k</math>-я подпоследовательность содержится в шаре <math>S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})</math>, то <math> \rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0</math> при <math>k \rightarrow \infty</math>. По предположению, пространство <math>X</math> полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности <math>\{ x_{k}^{(k)} \} </math> следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности <math>\{ x_{n} \} </math> сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества <math>M.</math>[1] }}
- Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon> 0</math> в нём существует компактная ε-сеть.
Напишите отзыв о статье "Эпсилон-сеть"
Примечания
- ↑ Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 59.
Литература
- Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
- Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Эпсилон-сеть
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
О! как задрожала эта терция, и как тронулось что то лучшее, что было в душе Ростова. И это что то было независимо от всего в мире, и выше всего в мире. Какие тут проигрыши, и Долоховы, и честное слово!… Всё вздор! Можно зарезать, украсть и всё таки быть счастливым…
Давно уже Ростов не испытывал такого наслаждения от музыки, как в этот день. Но как только Наташа кончила свою баркароллу, действительность опять вспомнилась ему. Он, ничего не сказав, вышел и пошел вниз в свою комнату. Через четверть часа старый граф, веселый и довольный, приехал из клуба. Николай, услыхав его приезд, пошел к нему.
– Ну что, повеселился? – сказал Илья Андреич, радостно и гордо улыбаясь на своего сына. Николай хотел сказать, что «да», но не мог: он чуть было не зарыдал. Граф раскуривал трубку и не заметил состояния сына.
«Эх, неизбежно!» – подумал Николай в первый и последний раз. И вдруг самым небрежным тоном, таким, что он сам себе гадок казался, как будто он просил экипажа съездить в город, он сказал отцу.
– Папа, а я к вам за делом пришел. Я было и забыл. Мне денег нужно.
– Вот как, – сказал отец, находившийся в особенно веселом духе. – Я тебе говорил, что не достанет. Много ли?
– Очень много, – краснея и с глупой, небрежной улыбкой, которую он долго потом не мог себе простить, сказал Николай. – Я немного проиграл, т. е. много даже, очень много, 43 тысячи.
– Что? Кому?… Шутишь! – крикнул граф, вдруг апоплексически краснея шеей и затылком, как краснеют старые люди.
– Я обещал заплатить завтра, – сказал Николай.
– Ну!… – сказал старый граф, разводя руками и бессильно опустился на диван.
– Что же делать! С кем это не случалось! – сказал сын развязным, смелым тоном, тогда как в душе своей он считал себя негодяем, подлецом, который целой жизнью не мог искупить своего преступления. Ему хотелось бы целовать руки своего отца, на коленях просить его прощения, а он небрежным и даже грубым тоном говорил, что это со всяким случается.
Граф Илья Андреич опустил глаза, услыхав эти слова сына и заторопился, отыскивая что то.
– Да, да, – проговорил он, – трудно, я боюсь, трудно достать…с кем не бывало! да, с кем не бывало… – И граф мельком взглянул в лицо сыну и пошел вон из комнаты… Николай готовился на отпор, но никак не ожидал этого.
– Папенька! па…пенька! – закричал он ему вслед, рыдая; простите меня! – И, схватив руку отца, он прижался к ней губами и заплакал.
В то время, как отец объяснялся с сыном, у матери с дочерью происходило не менее важное объяснение. Наташа взволнованная прибежала к матери.
– Мама!… Мама!… он мне сделал…
– Что сделал?
– Сделал, сделал предложение. Мама! Мама! – кричала она. Графиня не верила своим ушам. Денисов сделал предложение. Кому? Этой крошечной девочке Наташе, которая еще недавно играла в куклы и теперь еще брала уроки.
– Наташа, полно, глупости! – сказала она, еще надеясь, что это была шутка.
– Ну вот, глупости! – Я вам дело говорю, – сердито сказала Наташа. – Я пришла спросить, что делать, а вы мне говорите: «глупости»…
Графиня пожала плечами.
– Ежели правда, что мосьё Денисов сделал тебе предложение, то скажи ему, что он дурак, вот и всё.
– Нет, он не дурак, – обиженно и серьезно сказала Наташа.
– Ну так что ж ты хочешь? Вы нынче ведь все влюблены. Ну, влюблена, так выходи за него замуж! – сердито смеясь, проговорила графиня. – С Богом!
– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.