Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре (решена)
Гипотеза Римана
Решение уравнений
квантовой теории
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

При каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах?[1]

Бёрч и Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг <math>r</math> эллиптической кривой <math>E</math> над <math>\mathbb{Q}</math> решений равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля (en) <math>E(L,s)</math> в точке <math>s=1</math>. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел <math>B_E=\lim\limits_{s \to 1} \frac{E(L,s)}{(s-1)^r}</math>, где значение <math>B_E</math> зависит от тонких арифметических инвариантов кривых.

Наиболее ярким частным результатом по состоянию на 2011 год остается доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая <math>E</math> содержит бесконечно много рациональных точек, то <math>E(L,1)=0</math>.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых.

Напишите отзыв о статье "Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера"



Примечания

Литература

  • Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
  • Стюарт Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

См. также


Отрывок, характеризующий Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

– Папа! – опять тем же тоном повторила красавица, – мы опоздаем.
– Ну, au revoir, [до свиданья,] прощайте. Видите?
– Так завтра вы доложите государю?
– Непременно, а Кутузову не обещаю.
– Нет, обещайте, обещайте, Basile, [Василий,] – сказала вслед ему Анна Михайловна, с улыбкой молодой кокетки, которая когда то, должно быть, была ей свойственна, а теперь так не шла к ее истощенному лицу.
Она, видимо, забыла свои годы и пускала в ход, по привычке, все старинные женские средства. Но как только он вышел, лицо ее опять приняло то же холодное, притворное выражение, которое было на нем прежде. Она вернулась к кружку, в котором виконт продолжал рассказывать, и опять сделала вид, что слушает, дожидаясь времени уехать, так как дело ее было сделано.
– Но как вы находите всю эту последнюю комедию du sacre de Milan? [миланского помазания?] – сказала Анна Павловна. Et la nouvelle comedie des peuples de Genes et de Lucques, qui viennent presenter leurs voeux a M. Buonaparte assis sur un trone, et exaucant les voeux des nations! Adorable! Non, mais c'est a en devenir folle! On dirait, que le monde entier a perdu la tete. [И вот новая комедия: народы Генуи и Лукки изъявляют свои желания господину Бонапарте. И господин Бонапарте сидит на троне и исполняет желания народов. 0! это восхитительно! Нет, от этого можно с ума сойти. Подумаешь, что весь свет потерял голову.]
Князь Андрей усмехнулся, прямо глядя в лицо Анны Павловны.
– «Dieu me la donne, gare a qui la touche», – сказал он (слова Бонапарте, сказанные при возложении короны). – On dit qu'il a ete tres beau en prononcant ces paroles, [Бог мне дал корону. Беда тому, кто ее тронет. – Говорят, он был очень хорош, произнося эти слова,] – прибавил он и еще раз повторил эти слова по итальянски: «Dio mi la dona, guai a chi la tocca».
– J'espere enfin, – продолжала Анна Павловна, – que ca a ete la goutte d'eau qui fera deborder le verre. Les souverains ne peuvent plus supporter cet homme, qui menace tout. [Надеюсь, что это была, наконец, та капля, которая переполнит стакан. Государи не могут более терпеть этого человека, который угрожает всему.]
– Les souverains? Je ne parle pas de la Russie, – сказал виконт учтиво и безнадежно: – Les souverains, madame! Qu'ont ils fait pour Louis XVII, pour la reine, pour madame Elisabeth? Rien, – продолжал он одушевляясь. – Et croyez moi, ils subissent la punition pour leur trahison de la cause des Bourbons. Les souverains? Ils envoient des ambassadeurs complimenter l'usurpateur. [Государи! Я не говорю о России. Государи! Но что они сделали для Людовика XVII, для королевы, для Елизаветы? Ничего. И, поверьте мне, они несут наказание за свою измену делу Бурбонов. Государи! Они шлют послов приветствовать похитителя престола.]