Гипотеза Римана

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре (решена)
Гипотеза Римана
Решение уравнений квантовой теории Янга — Миллса
Существование и гладкость  решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Для термина «Риман» см. также другие значения.

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих <math>x</math>, — функция распределения простых чисел, обозначаемая <math>\pi(x)</math> — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды).

Формулировка

Дзета-функция Римана <math>\zeta(s)</math> определена для всех комплексных <math>s\ne 1</math> и имеет нули в отрицательных чётных <math>s=-2,-4,-6\dots</math>.

из функционального уравнения <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s} \sin{\pi s \over 2} \frac1{\sin\pi s\Gamma(s)}\zeta(1-s)</math> и явного выражения <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math> при <math>\operatorname{Re}\,s>1</math>, где <math>\mu(n)</math> — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе <math>0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1</math> симметрично относительно так называемой «критической линии» <math>{1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}</math>.

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, что:

«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную <math>\frac{1}{2}</math>»,

то есть являются комплексными числами (в отличие от тривиальных нулей) и расположены на прямой Re s = <math>\frac{1}{2}</math>.

Обобщённая гипотеза Римана

Обобщённая гипотеза Римана (англ. Generalized Riemann hypothesis) состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Эквивалентные формулировки

В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

<math>\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right)</math> при <math>x\rightarrow\infty.</math>

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

• Для всех <math>x \geqslant 2657</math> выполняется неравенство <math>\left|\pi(x) - \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x,</math>

• Для всех <math>x \geqslant 73.2 </math> выполняется неравенство <math>|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln^2(x),</math> где ψ(x) — вторая функция Чебышёва,

• Для всех <math>n > 5040 </math> выполняется неравенство <math>\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n,</math> где <math>\sigma(n)</math> — функция делителей числа <math>n</math>, а <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера-Маскерони.

• Для всех <math>n>1</math> выполняется неравенство <math>\sigma(n) < H_n+e^{H_n}\ln H_n,</math> где <math>H_n</math> — <math>n</math>-е гармоническое число.

• Для любого положительного <math>\varepsilon</math> выполняется неравенство <math>M(n) = O(n^{1/2+\varepsilon})</math>, где <math>M(n)</math> — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза <math>|M(n)|<\sqrt{n}</math> была опровергнута в 1985 году.

• Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: <math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2)^3}\int\limits_{1/2}^{\infty}\log|\zeta(\sigma+i t)|\,d\sigma \,dt=\frac{\pi(3-\gamma)}{32}</math>.

• Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

<math>\int_{0}^\infty\frac{z^{-\sigma-1}\phi(z)\,dz}{{e^{x/z}}+1}=0 </math>

не имеет нетривиальных решений <math>\phi</math> для <math>1/2<\sigma <1</math>.

• Если гипотеза Римана неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание гипотезы Римана недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза Римана верна.

История

В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых <math>\operatorname{Re}\,s=0</math> и <math>\operatorname{Re}\,s=1</math>.

В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера».

Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

На 2004 год проверены более 10¹³ первых нулей..

Группа математиков Университета Пердью (США) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое, однако, оказалось неверным..

18 ноября 2015 года в некоторых СМИ появились сообщения о том, что нигерийский математик Опиеми Энох (Opeyemi Enoch) якобы предъявил доказательство гипотезы Римана. Предъявленной оказалась более ранняя работа Werner Raab, также не опубликованная в научной периодике

Соображения об истинности гипотезы

В обзорных работах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Литлвуд).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех , связанных с автоморфными отображениями, что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана для дзета-функции Сельберга, в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейна не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid.

Связанные проблемы

Две гипотезы Харди-Литтлвуда

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал, что функция <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть <math>N(T)</math> есть количество вещественных нулей, а <math>N_0(T)</math> количество нулей нечётного порядка функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>, лежащих на интервале <math>(0,T]</math>.

Две гипотезы Харди и Литлвуда (о расстоянии между вещественными нулями <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> и о плотности нулей <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> на интервалах <math>(T,T+H]</math> при достаточно большом <math>T > 0</math>, <math>H = T^{a + \varepsilon}</math> и как можно меньшем значении <math>a > 0</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

1. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math>, такое что при <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}25+\varepsilon}</math> интервал <math>(T,T+H]</math> содержит нуль нечётного порядка функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>.
2. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> существуют такие <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math> и <math>c = c(\varepsilon) > 0</math>, что при <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math> справедливо неравенство <math>N_0(T+H)-N_0(T) \geqslant cH</math>.

Гипотеза А. Сельберга

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существуют <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math> и <math>c = c(\varepsilon) > 0</math>, такие что для <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math> справедливо неравенство <math>N(T+H)-N(T) \geqslant cH\log T</math>.

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу, что можно уменьшить показатель степени <math>a = 0{,}5</math> для величины <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math>.

В 1984 году А. А. Карацуба доказал, что при фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon < 0{,}001</math>, достаточно большом <math>T</math> и <math>H = T^{a+\varepsilon}</math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}</math> промежуток <math>(T,T+H)</math> содержит не менее <math>cH\ln T</math> вещественных нулей дзета-функции Римана <math>\zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr)</math>. Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при <math>T\to +\infty</math>.

В 1992 году А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков <math>(T,T+H]</math>, <math>H = T^{\varepsilon}</math>, где <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках <math>(T, T+H]</math>, длина <math>H</math> которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени <math>T</math>. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел <math>\varepsilon</math>, <math>\varepsilon_{1}</math> с условием <math>0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1</math> почти все промежутки <math>(T,T+H]</math> при <math>H\geqslant\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}</math> содержат не менее <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}</math> нулей функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Интересные факты

• Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
• Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении.» Харди считал, что бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания.

См. также

• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
• Николенко С. [old.computerra.ru/2005/607/230662/ Проблемы 2000 года: гипотеза Римана] // Компьютерра. — 2005. — Вып. 35.
• Bombieri, Enrico (2000), [www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf The Riemann Hypothesis - official problem description], Clay Mathematics Institute, <www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf>. Проверено 25 октября 2008. 
• Conrey, Brian (2003), "[www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf The Riemann Hypothesis]", Notices of the American Mathematical Society: 341–353, <www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf> 
• Sarnak, Peter (2008), [www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis"], in Borwein, Peter; Choi, Stephen & Rooney, Brendan et al., The Riemann Hypothesis, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, сс. 107–115, ISBN 978-0387721255, <www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf> 
• Dr Matthew Watkins. [empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/RHproofs.htm proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis (предложенные доказательства и опровержения гипотезы Римана)]. Проверено 28 февраля 2016.

Литература

• Стюарт И. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Отрывок, характеризующий Гипотеза Римана

Он беспрестанно больно оскорблял княжну Марью, но дочь даже не делала усилий над собой, чтобы прощать его. Разве мог он быть виноват перед нею, и разве мог отец ее, который, она всё таки знала это, любил ее, быть несправедливым? Да и что такое справедливость? Княжна никогда не думала об этом гордом слове: «справедливость». Все сложные законы человечества сосредоточивались для нее в одном простом и ясном законе – в законе любви и самоотвержения, преподанном нам Тем, Который с любовью страдал за человечество, когда сам он – Бог. Что ей было за дело до справедливости или несправедливости других людей? Ей надо было самой страдать и любить, и это она делала.
Зимой в Лысые Горы приезжал князь Андрей, был весел, кроток и нежен, каким его давно не видала княжна Марья. Она предчувствовала, что с ним что то случилось, но он не сказал ничего княжне Марье о своей любви. Перед отъездом князь Андрей долго беседовал о чем то с отцом и княжна Марья заметила, что перед отъездом оба были недовольны друг другом.
Вскоре после отъезда князя Андрея, княжна Марья писала из Лысых Гор в Петербург своему другу Жюли Карагиной, которую княжна Марья мечтала, как мечтают всегда девушки, выдать за своего брата, и которая в это время была в трауре по случаю смерти своего брата, убитого в Турции.
«Горести, видно, общий удел наш, милый и нежный друг Julieie».
«Ваша потеря так ужасна, что я иначе не могу себе объяснить ее, как особенную милость Бога, Который хочет испытать – любя вас – вас и вашу превосходную мать. Ах, мой друг, религия, и только одна религия, может нас, уже не говорю утешить, но избавить от отчаяния; одна религия может объяснить нам то, чего без ее помощи не может понять человек: для чего, зачем существа добрые, возвышенные, умеющие находить счастие в жизни, никому не только не вредящие, но необходимые для счастия других – призываются к Богу, а остаются жить злые, бесполезные, вредные, или такие, которые в тягость себе и другим. Первая смерть, которую я видела и которую никогда не забуду – смерть моей милой невестки, произвела на меня такое впечатление. Точно так же как вы спрашиваете судьбу, для чего было умирать вашему прекрасному брату, точно так же спрашивала я, для чего было умирать этому ангелу Лизе, которая не только не сделала какого нибудь зла человеку, но никогда кроме добрых мыслей не имела в своей душе. И что ж, мой друг, вот прошло с тех пор пять лет, и я, с своим ничтожным умом, уже начинаю ясно понимать, для чего ей нужно было умереть, и каким образом эта смерть была только выражением бесконечной благости Творца, все действия Которого, хотя мы их большею частью не понимаем, суть только проявления Его бесконечной любви к Своему творению. Может быть, я часто думаю, она была слишком ангельски невинна для того, чтобы иметь силу перенести все обязанности матери. Она была безупречна, как молодая жена; может быть, она не могла бы быть такою матерью. Теперь, мало того, что она оставила нам, и в особенности князю Андрею, самое чистое сожаление и воспоминание, она там вероятно получит то место, которого я не смею надеяться для себя. Но, не говоря уже о ней одной, эта ранняя и страшная смерть имела самое благотворное влияние, несмотря на всю печаль, на меня и на брата. Тогда, в минуту потери, эти мысли не могли притти мне; тогда я с ужасом отогнала бы их, но теперь это так ясно и несомненно. Пишу всё это вам, мой друг, только для того, чтобы убедить вас в евангельской истине, сделавшейся для меня жизненным правилом: ни один волос с головы не упадет без Его воли. А воля Его руководствуется только одною беспредельною любовью к нам, и потому всё, что ни случается с нами, всё для нашего блага. Вы спрашиваете, проведем ли мы следующую зиму в Москве? Несмотря на всё желание вас видеть, не думаю и не желаю этого. И вы удивитесь, что причиною тому Буонапарте. И вот почему: здоровье отца моего заметно слабеет: он не может переносить противоречий и делается раздражителен. Раздражительность эта, как вы знаете, обращена преимущественно на политические дела. Он не может перенести мысли о том, что Буонапарте ведет дело как с равными, со всеми государями Европы и в особенности с нашим, внуком Великой Екатерины! Как вы знаете, я совершенно равнодушна к политическим делам, но из слов моего отца и разговоров его с Михаилом Ивановичем, я знаю всё, что делается в мире, и в особенности все почести, воздаваемые Буонапарте, которого, как кажется, еще только в Лысых Горах на всем земном шаре не признают ни великим человеком, ни еще менее французским императором. И мой отец не может переносить этого. Мне кажется, что мой отец, преимущественно вследствие своего взгляда на политические дела и предвидя столкновения, которые у него будут, вследствие его манеры, не стесняясь ни с кем, высказывать свои мнения, неохотно говорит о поездке в Москву. Всё, что он выиграет от лечения, он потеряет вследствие споров о Буонапарте, которые неминуемы. Во всяком случае это решится очень скоро. Семейная жизнь наша идет по старому, за исключением присутствия брата Андрея. Он, как я уже писала вам, очень изменился последнее время. После его горя, он теперь только, в нынешнем году, совершенно нравственно ожил. Он стал таким, каким я его знала ребенком: добрым, нежным, с тем золотым сердцем, которому я не знаю равного. Он понял, как мне кажется, что жизнь для него не кончена. Но вместе с этой нравственной переменой, он физически очень ослабел. Он стал худее чем прежде, нервнее. Я боюсь за него и рада, что он предпринял эту поездку за границу, которую доктора уже давно предписывали ему. Я надеюсь, что это поправит его. Вы мне пишете, что в Петербурге о нем говорят, как об одном из самых деятельных, образованных и умных молодых людей. Простите за самолюбие родства – я никогда в этом не сомневалась. Нельзя счесть добро, которое он здесь сделал всем, начиная с своих мужиков и до дворян. Приехав в Петербург, он взял только то, что ему следовало. Удивляюсь, каким образом вообще доходят слухи из Петербурга в Москву и особенно такие неверные, как тот, о котором вы мне пишете, – слух о мнимой женитьбе брата на маленькой Ростовой. Я не думаю, чтобы Андрей когда нибудь женился на ком бы то ни было и в особенности на ней. И вот почему: во первых я знаю, что хотя он и редко говорит о покойной жене, но печаль этой потери слишком глубоко вкоренилась в его сердце, чтобы когда нибудь он решился дать ей преемницу и мачеху нашему маленькому ангелу. Во вторых потому, что, сколько я знаю, эта девушка не из того разряда женщин, которые могут нравиться князю Андрею. Не думаю, чтобы князь Андрей выбрал ее своею женою, и откровенно скажу: я не желаю этого. Но я заболталась, кончаю свой второй листок. Прощайте, мой милый друг; да сохранит вас Бог под Своим святым и могучим покровом. Моя милая подруга, mademoiselle Bourienne, целует вас.
Мари».


В середине лета, княжна Марья получила неожиданное письмо от князя Андрея из Швейцарии, в котором он сообщал ей странную и неожиданную новость. Князь Андрей объявлял о своей помолвке с Ростовой. Всё письмо его дышало любовной восторженностью к своей невесте и нежной дружбой и доверием к сестре. Он писал, что никогда не любил так, как любит теперь, и что теперь только понял и узнал жизнь; он просил сестру простить его за то, что в свой приезд в Лысые Горы он ничего не сказал ей об этом решении, хотя и говорил об этом с отцом. Он не сказал ей этого потому, что княжна Марья стала бы просить отца дать свое согласие, и не достигнув бы цели, раздражила бы отца, и на себе бы понесла всю тяжесть его неудовольствия. Впрочем, писал он, тогда еще дело не было так окончательно решено, как теперь. «Тогда отец назначил мне срок, год, и вот уже шесть месяцев, половина прошло из назначенного срока, и я остаюсь более, чем когда нибудь тверд в своем решении. Ежели бы доктора не задерживали меня здесь, на водах, я бы сам был в России, но теперь возвращение мое я должен отложить еще на три месяца. Ты знаешь меня и мои отношения с отцом. Мне ничего от него не нужно, я был и буду всегда независим, но сделать противное его воле, заслужить его гнев, когда может быть так недолго осталось ему быть с нами, разрушило бы наполовину мое счастие. Я пишу теперь ему письмо о том же и прошу тебя, выбрав добрую минуту, передать ему письмо и известить меня о том, как он смотрит на всё это и есть ли надежда на то, чтобы он согласился сократить срок на три месяца».
После долгих колебаний, сомнений и молитв, княжна Марья передала письмо отцу. На другой день старый князь сказал ей спокойно:
– Напиши брату, чтоб подождал, пока умру… Не долго – скоро развяжу…
Княжна хотела возразить что то, но отец не допустил ее, и стал всё более и более возвышать голос.
– Женись, женись, голубчик… Родство хорошее!… Умные люди, а? Богатые, а? Да. Хороша мачеха у Николушки будет! Напиши ты ему, что пускай женится хоть завтра. Мачеха Николушки будет – она, а я на Бурьенке женюсь!… Ха, ха, ха, и ему чтоб без мачехи не быть! Только одно, в моем доме больше баб не нужно; пускай женится, сам по себе живет. Может, и ты к нему переедешь? – обратился он к княжне Марье: – с Богом, по морозцу, по морозцу… по морозцу!…
После этой вспышки, князь не говорил больше ни разу об этом деле. Но сдержанная досада за малодушие сына выразилась в отношениях отца с дочерью. К прежним предлогам насмешек прибавился еще новый – разговор о мачехе и любезности к m lle Bourienne.
– Отчего же мне на ней не жениться? – говорил он дочери. – Славная княгиня будет! – И в последнее время, к недоуменью и удивлению своему, княжна Марья стала замечать, что отец ее действительно начинал больше и больше приближать к себе француженку. Княжна Марья написала князю Андрею о том, как отец принял его письмо; но утешала брата, подавая надежду примирить отца с этою мыслью.
Николушка и его воспитание, Andre и религия были утешениями и радостями княжны Марьи; но кроме того, так как каждому человеку нужны свои личные надежды, у княжны Марьи была в самой глубокой тайне ее души скрытая мечта и надежда, доставлявшая ей главное утешение в ее жизни. Утешительную эту мечту и надежду дали ей божьи люди – юродивые и странники, посещавшие ее тайно от князя. Чем больше жила княжна Марья, чем больше испытывала она жизнь и наблюдала ее, тем более удивляла ее близорукость людей, ищущих здесь на земле наслаждений и счастия; трудящихся, страдающих, борющихся и делающих зло друг другу, для достижения этого невозможного, призрачного и порочного счастия. «Князь Андрей любил жену, она умерла, ему мало этого, он хочет связать свое счастие с другой женщиной. Отец не хочет этого, потому что желает для Андрея более знатного и богатого супружества. И все они борются и страдают, и мучают, и портят свою душу, свою вечную душу, для достижения благ, которым срок есть мгновенье. Мало того, что мы сами знаем это, – Христос, сын Бога сошел на землю и сказал нам, что эта жизнь есть мгновенная жизнь, испытание, а мы всё держимся за нее и думаем в ней найти счастье. Как никто не понял этого? – думала княжна Марья. Никто кроме этих презренных божьих людей, которые с сумками за плечами приходят ко мне с заднего крыльца, боясь попасться на глаза князю, и не для того, чтобы не пострадать от него, а для того, чтобы его не ввести в грех. Оставить семью, родину, все заботы о мирских благах для того, чтобы не прилепляясь ни к чему, ходить в посконном рубище, под чужим именем с места на место, не делая вреда людям, и молясь за них, молясь и за тех, которые гонят, и за тех, которые покровительствуют: выше этой истины и жизни нет истины и жизни!»
Была одна странница, Федосьюшка, 50 ти летняя, маленькая, тихенькая, рябая женщина, ходившая уже более 30 ти лет босиком и в веригах. Ее особенно любила княжна Марья. Однажды, когда в темной комнате, при свете одной лампадки, Федосьюшка рассказывала о своей жизни, – княжне Марье вдруг с такой силой пришла мысль о том, что Федосьюшка одна нашла верный путь жизни, что она решилась сама пойти странствовать. Когда Федосьюшка пошла спать, княжна Марья долго думала над этим и наконец решила, что как ни странно это было – ей надо было итти странствовать. Она поверила свое намерение только одному духовнику монаху, отцу Акинфию, и духовник одобрил ее намерение. Под предлогом подарка странницам, княжна Марья припасла себе полное одеяние странницы: рубашку, лапти, кафтан и черный платок. Часто подходя к заветному комоду, княжна Марья останавливалась в нерешительности о том, не наступило ли уже время для приведения в исполнение ее намерения.
Часто слушая рассказы странниц, она возбуждалась их простыми, для них механическими, а для нее полными глубокого смысла речами, так что она была несколько раз готова бросить всё и бежать из дому. В воображении своем она уже видела себя с Федосьюшкой в грубом рубище, шагающей с палочкой и котомочкой по пыльной дороге, направляя свое странствие без зависти, без любви человеческой, без желаний от угодников к угодникам, и в конце концов, туда, где нет ни печали, ни воздыхания, а вечная радость и блаженство.
«Приду к одному месту, помолюсь; не успею привыкнуть, полюбить – пойду дальше. И буду итти до тех пор, пока ноги подкосятся, и лягу и умру где нибудь, и приду наконец в ту вечную, тихую пристань, где нет ни печали, ни воздыхания!…» думала княжна Марья.
Но потом, увидав отца и особенно маленького Коко, она ослабевала в своем намерении, потихоньку плакала и чувствовала, что она грешница: любила отца и племянника больше, чем Бога.



Библейское предание говорит, что отсутствие труда – праздность была условием блаженства первого человека до его падения. Любовь к праздности осталась та же и в падшем человеке, но проклятие всё тяготеет над человеком, и не только потому, что мы в поте лица должны снискивать хлеб свой, но потому, что по нравственным свойствам своим мы не можем быть праздны и спокойны. Тайный голос говорит, что мы должны быть виновны за то, что праздны. Ежели бы мог человек найти состояние, в котором он, будучи праздным, чувствовал бы себя полезным и исполняющим свой долг, он бы нашел одну сторону первобытного блаженства. И таким состоянием обязательной и безупречной праздности пользуется целое сословие – сословие военное. В этой то обязательной и безупречной праздности состояла и будет состоять главная привлекательность военной службы.