Инъекция (математика)

Инъекция в математике — отображение <math>f</math> множества <math>X</math> в множество <math>Y</math> (<math>f\colon X\to Y</math>), при котором разные элементы множества <math>X</math> переводятся в разные элементы множества <math>Y</math>, то есть, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы: <math>f(x)=f(y) \Rightarrow x=y</math>.

Инъекцию также называют вложением или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно-однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции <math>f: X \to Y</math> аналогичная фраза формулируется как отображение <math>X</math> в <math>Y</math>.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть, <math>f\colon X\to Y</math> инъективно, если существует <math>g\colon Y\to X</math>, при котором <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма, во многих категориях эти понятия эквивалентны, однако это выполнено не всегда.

Примеры:

• <math>f:\R_{>0}\to\R,\;f(x)=\ln x</math> — инъективно.
• <math>f:\R_+\to\R,\;f(x)=x^2</math> — инъективно.
• <math>f:\R\to\R,\;f(x)=x^2</math> — не является инъективным (<math>f(-2)=f(2)=4</math>).

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных. Другое пример — идеальное хеширование.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.

См. также

• Сюръекция
• Отображение
• Морфизм
• Гомоморфизм
• Изоморфизм
• Эндоморфизм
• Автоморфизм
• Мономорфизм
• Эпиморфизм
• Биморфизм

Отрывок, характеризующий Инъекция (математика)

Губка Лизы опустилась. Она приблизила свое лицо к лицу золовки и опять неожиданно заплакала.
– Ей надо отдохнуть, – сказал князь Андрей, морщась. – Не правда ли, Лиза? Сведи ее к себе, а я пойду к батюшке. Что он, всё то же?
– То же, то же самое; не знаю, как на твои глаза, – отвечала радостно княжна.
– И те же часы, и по аллеям прогулки? Станок? – спрашивал князь Андрей с чуть заметною улыбкой, показывавшею, что несмотря на всю свою любовь и уважение к отцу, он понимал его слабости.
– Те же часы и станок, еще математика и мои уроки геометрии, – радостно отвечала княжна Марья, как будто ее уроки из геометрии были одним из самых радостных впечатлений ее жизни.
Когда прошли те двадцать минут, которые нужны были для срока вставанья старого князя, Тихон пришел звать молодого князя к отцу. Старик сделал исключение в своем образе жизни в честь приезда сына: он велел впустить его в свою половину во время одевания перед обедом. Князь ходил по старинному, в кафтане и пудре. И в то время как князь Андрей (не с тем брюзгливым выражением лица и манерами, которые он напускал на себя в гостиных, а с тем оживленным лицом, которое у него было, когда он разговаривал с Пьером) входил к отцу, старик сидел в уборной на широком, сафьяном обитом, кресле, в пудроманте, предоставляя свою голову рукам Тихона.
– А! Воин! Бонапарта завоевать хочешь? – сказал старик и тряхнул напудренною головой, сколько позволяла это заплетаемая коса, находившаяся в руках Тихона. – Примись хоть ты за него хорошенько, а то он эдак скоро и нас своими подданными запишет. – Здорово! – И он выставил свою щеку.
Старик находился в хорошем расположении духа после дообеденного сна. (Он говорил, что после обеда серебряный сон, а до обеда золотой.) Он радостно из под своих густых нависших бровей косился на сына. Князь Андрей подошел и поцеловал отца в указанное им место. Он не отвечал на любимую тему разговора отца – подтруниванье над теперешними военными людьми, а особенно над Бонапартом.
– Да, приехал к вам, батюшка, и с беременною женой, – сказал князь Андрей, следя оживленными и почтительными глазами за движением каждой черты отцовского лица. – Как здоровье ваше?