Квазигруппа (математика)
Поделись знанием:
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».
Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l'empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.
Под предлогом увода раненых не расстроивать ряда! Каждый да будет вполне проникнут мыслию, что надо победить этих наемников Англии, воодушевленных такою ненавистью против нашей нации. Эта победа окончит наш поход, и мы можем возвратиться на зимние квартиры, где застанут нас новые французские войска, которые формируются во Франции; и тогда мир, который я заключу, будет достоин моего народа, вас и меня.
Наполеон».
В 5 часов утра еще было совсем темно. Войска центра, резервов и правый фланг Багратиона стояли еще неподвижно; но на левом фланге колонны пехоты, кавалерии и артиллерии, долженствовавшие первые спуститься с высот, для того чтобы атаковать французский правый фланг и отбросить его, по диспозиции, в Богемские горы, уже зашевелились и начали подниматься с своих ночлегов. Дым от костров, в которые бросали всё лишнее, ел глаза. Было холодно и темно. Офицеры торопливо пили чай и завтракали, солдаты пережевывали сухари, отбивали ногами дробь, согреваясь, и стекались против огней, бросая в дрова остатки балаганов, стулья, столы, колеса, кадушки, всё лишнее, что нельзя было увезти с собою. Австрийские колонновожатые сновали между русскими войсками и служили предвестниками выступления. Как только показывался австрийский офицер около стоянки полкового командира, полк начинал шевелиться: солдаты сбегались от костров, прятали в голенища трубочки, мешочки в повозки, разбирали ружья и строились. Офицеры застегивались, надевали шпаги и ранцы и, покрикивая, обходили ряды; обозные и денщики запрягали, укладывали и увязывали повозки. Адъютанты, батальонные и полковые командиры садились верхами, крестились, отдавали последние приказания, наставления и поручения остающимся обозным, и звучал однообразный топот тысячей ног. Колонны двигались, не зная куда и не видя от окружавших людей, от дыма и от усиливающегося тумана ни той местности, из которой они выходили, ни той, в которую они вступали.
Солдат в движении так же окружен, ограничен и влеком своим полком, как моряк кораблем, на котором он находится. Как бы далеко он ни прошел, в какие бы странные, неведомые и опасные широты ни вступил он, вокруг него – как для моряка всегда и везде те же палубы, мачты, канаты своего корабля – всегда и везде те же товарищи, те же ряды, тот же фельдфебель Иван Митрич, та же ротная собака Жучка, то же начальство. Солдат редко желает знать те широты, в которых находится весь корабль его; но в день сражения, Бог знает как и откуда, в нравственном мире войска слышится одна для всех строгая нота, которая звучит приближением чего то решительного и торжественного и вызывает их на несвойственное им любопытство. Солдаты в дни сражений возбужденно стараются выйти из интересов своего полка, прислушиваются, приглядываются и жадно расспрашивают о том, что делается вокруг них.
Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной[1].
Определения и свойства
Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что
- a * x = b
- y * a = b
Решения этих уравнений иногда записывают так:
- x = a \ b
- y = b / a
Операции \ и / называют левым делением и правым делением.
Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).
Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что
- (x, y) = [xA, yB]C
(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.
Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.
Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.
Примеры
- Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b <math> \Leftrightarrow </math> x = a−1 * b, y * a = b <math> \Leftrightarrow </math> y = b * a−1.
- Целые числа (<math>\mathbb{Z}</math>) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
- Ненулевые рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math> (или вещественные — <math>\mathbb{R}</math>) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
- Множество {±1, ±i, ±j, ±k} где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются также, как в кватернионах является квазигруппой с единицей (лупой).
- Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной, коммутативной квазигруппы.
Напишите отзыв о статье "Квазигруппа (математика)"
Примечания
- ↑ Л. В. Сабинин, «[mi.mathnet.ru/rus/ivm/y1996/i7/p77 Однородные пространства и квазигруппы]», Изв. вузов. Матем., 1996, № 7, 77-84
Литература
- Белоусов В. Д. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov1967ru.djvu «Основы теории квазигрупп и луп»] — М.: Наука, 1967. — 224с.
- Sabinin L.V. [mechmath.org/books/1232 Smooth quasigroups and loops] — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
- Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
- Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
- «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
- Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
- Михеев П. О., Сабинин Л. В. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intg&paperid=173&option_lang=rus Гладкие квазигруппы и геометрия]. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
- Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6.
- Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Квазигруппа (математика)
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».
Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l'empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.
Под предлогом увода раненых не расстроивать ряда! Каждый да будет вполне проникнут мыслию, что надо победить этих наемников Англии, воодушевленных такою ненавистью против нашей нации. Эта победа окончит наш поход, и мы можем возвратиться на зимние квартиры, где застанут нас новые французские войска, которые формируются во Франции; и тогда мир, который я заключу, будет достоин моего народа, вас и меня.
Наполеон».
В 5 часов утра еще было совсем темно. Войска центра, резервов и правый фланг Багратиона стояли еще неподвижно; но на левом фланге колонны пехоты, кавалерии и артиллерии, долженствовавшие первые спуститься с высот, для того чтобы атаковать французский правый фланг и отбросить его, по диспозиции, в Богемские горы, уже зашевелились и начали подниматься с своих ночлегов. Дым от костров, в которые бросали всё лишнее, ел глаза. Было холодно и темно. Офицеры торопливо пили чай и завтракали, солдаты пережевывали сухари, отбивали ногами дробь, согреваясь, и стекались против огней, бросая в дрова остатки балаганов, стулья, столы, колеса, кадушки, всё лишнее, что нельзя было увезти с собою. Австрийские колонновожатые сновали между русскими войсками и служили предвестниками выступления. Как только показывался австрийский офицер около стоянки полкового командира, полк начинал шевелиться: солдаты сбегались от костров, прятали в голенища трубочки, мешочки в повозки, разбирали ружья и строились. Офицеры застегивались, надевали шпаги и ранцы и, покрикивая, обходили ряды; обозные и денщики запрягали, укладывали и увязывали повозки. Адъютанты, батальонные и полковые командиры садились верхами, крестились, отдавали последние приказания, наставления и поручения остающимся обозным, и звучал однообразный топот тысячей ног. Колонны двигались, не зная куда и не видя от окружавших людей, от дыма и от усиливающегося тумана ни той местности, из которой они выходили, ни той, в которую они вступали.
Солдат в движении так же окружен, ограничен и влеком своим полком, как моряк кораблем, на котором он находится. Как бы далеко он ни прошел, в какие бы странные, неведомые и опасные широты ни вступил он, вокруг него – как для моряка всегда и везде те же палубы, мачты, канаты своего корабля – всегда и везде те же товарищи, те же ряды, тот же фельдфебель Иван Митрич, та же ротная собака Жучка, то же начальство. Солдат редко желает знать те широты, в которых находится весь корабль его; но в день сражения, Бог знает как и откуда, в нравственном мире войска слышится одна для всех строгая нота, которая звучит приближением чего то решительного и торжественного и вызывает их на несвойственное им любопытство. Солдаты в дни сражений возбужденно стараются выйти из интересов своего полка, прислушиваются, приглядываются и жадно расспрашивают о том, что делается вокруг них.
