Коэффициент сходства

Коэффициент сходства (также мера сходства, индекс сходства) — безразмерный показатель, применяемый в биологии для количественного определения степени сходства биологических объектов. Также известен под названиями «мера ассоциации», «мера подобия» и др.

В более широком смысле говорят о мерах близости к которым относятся: меры разнообразия, меры концентрации (однородности), меры включения, меры сходства, меры различия (в том числе расстояния), меры совместимости событий, меры несовместимости событий, меры взаимозависимости, меры взаимонезависимости. Теория мер близости находится в стадии становления и потому существует множество различных представлений о формализации отношений близости.

Меры близости широко применяются в биологии, где наиболее часто сравниваются участки (районы, отдельные фитоценозы, зооценозы и т. п.). Также применяются в географии, социологии, распознавании образов, поисковых системах, сравнительной лингвистике, биоинформатике, хемоинформатике и др.

Большинство коэффициентов нормированы и находятся в диапазоне от 0 (сходство отсутствует) до 1 (полное сходство). Сходство и различие взаимодополняют друг друга (математически это можно выразить так: Сходство = 1 − Различие).

Коэффициенты сходства можно условно разделить на три группы в зависимости от того, какое число объектов рассматривается:

• унарные — рассматривается один объект. В эту группу входят меры разнообразия, меры концентрации.
• бинарные — рассматривается два объекта. Это наиболее известная группа коэффициентов.
• n-арные (многоместные) — рассматривается n объектов. Эта группа наименее известна.

Унарные коэффициенты

При изучении биологических объектов широко используются меры изменчивости, как отдельных признаков, так и частот распределения случайных величин. В простейшем случае инвентаризационное (в пределах изучаемой биосистемы) разнообразие можно оценить видовым богатством, или числом видов.

Наиболее часто используются меры разнообразия (коэффициент вариации, индексы параметрического семейства Реньи, включая индекс Шеннона; индексы семейства Хилла; индексы Маргалефа, Глизона и др.). Реже используются дополняющие их меры концентрации (например, семейство мер Колмогорова, мера диссонанса Розенберга).

Бинарные коэффициенты

Это наиболее используемые в биологии и географии коэффициенты. Самый первый коэффициент сходства был предложен П. Жаккаром (Jaccard) в 1901 г. : <math> K_J = \frac{c}{a+b-c} </math>, где а — количество видов на первой пробной площадке, b — количество видов на второй пробной площадке, с — количество видов, общих для 1-й и 2-й площадок. Впоследствии в самых различных областях науки предлагались различные коэффициенты (меры, индексы) сходства. Наибольшее распространение получили (обозначения те же):

• коэффициент Серенсена (Sörensen) : <math> K_S = \frac{2c}{a+b}</math>;
• коэффициент Кульчинского (Kulczinsky) : <math> K_K =\frac{c}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ) </math>;
• коэффициент Отиаи (Ochiai): <math> K_O =\frac{c}{\sqrt{ab}}</math>;
• коэффициент Шимкевича-Симпсона (Szymkiewicz, Simpson): <math> K_S =\frac{c}{min(a,b)}</math>;
• коэффициент Браун-Бланке (Braun-Blanquet): <math> K_B =\frac{c}{max(a,b)}</math>;

Известна альтернативная система обозначений для таблицы сопряжённости <math> 2 \times 2 </math> от Р. Р. Сокала (Sokal) и П.Снита (Sneath):

	Присутствие вида на 1-м участке	Отсутствие вида на 1-м участке
Присутствие вида на 2-м участке	a	b
Отсутствие вида на 2-м участке	c	d

где а — количество видов, встречаемых на обеих площадках; b — количество видов встреченных на первой пробной площадке, но без учёта встречаемости общих видов; с — количество видов встреченных на второй пробной площадке, но без учёта встречаемости общих видов. Эта таблица создает большую путаницу. Её часто путают с похожей статистической таблицей сопряженности <math> 2 \times 2 </math>; обозначения таблицы Сокала-Снита путают с классическими обозначениями (см. выше); почти всегда не учитывают того факта, что таблица рассматривает только вероятности.
В процессе математической формализации объектов и связей между ними возникла универсальная теоретико-множественная запись для коэффициентов сходства. Впервые такого рода запись появляется в работах А. С. Константинова, М. Левандовского и Д. Винтер. Так коэффициент сходства Жаккара может быть записан следующим образом:

<math> K_J = \frac{n(A \cap B)}{n(A) + n(B) - n(A \cap B)}</math> или <math> K_J = \frac{n(A \cap B)}{n(A \cup B)}</math>.

Наиболее простым коэффициентом сходства является мера абсолютного сходства, которая по сути является числом общих признаков двух сравниваемых объектов: <math> n(A \cap B) </math>. При нормировке этой меры значения меры сходства заключены между 0 и 1 и коэффициент известен как «мера процентного сходства» при использовании относительных единиц измерения (в процентах) и как меры пересечения в промежуточных расчетах относительных мер сходства (например, за рубежом известна как мера Ренконена ).

В 1973 году Б. И. Сёмкиным была предложена общая формула на основе формулы среднего Колмогорова, объединяющая большую часть известных коэффициентов сходства в непрерывный континуум мер:

<math> K_{\tau,\eta} (A,B) = \left ( \frac{K_\tau^\eta (A;B) + K_\tau^\eta (B;A)}{2} \right )^\frac{1}{\eta} </math>,

где <math> K_\tau, (A;B) = \frac{K_0 (A;B)}{1 + \tau - \tau K_0 (A;B)} </math>; <math> K_\tau, (B;A) = \frac{K_0 (B;A)}{1 + \tau - \tau K_0 (B;A)} </math>; <math>K_0 (A;B) = \frac{conv(A,B)}{S(B)}</math>; <math>K_0 (B;A) = \frac{conv(A,B)}{S(A)}</math>; <math> -1 < \tau < \mathcal {1} </math>; <math> - \mathcal {1} < \eta < + \mathcal {1} </math>. Например, значения <math> [ \tau , \eta ] </math> для вышеприведённых коэффициентов имеют следующий вид: [1,-1] (коэффициент Жаккара); [0,-1] (коэффициент Серенсена); [0,1] (коэффициент Кульчинского); [0,0] (коэффициент Отиаи); [0, <math> + \mathcal {1} </math> ] (коэффициент Шимкевича-Симпсона); [0,<math> - \mathcal {1} </math> ] (коэффициент Браун-Бланке). Обобщающая формула позволяет определить классы эквивалентных и неэквивалентных коэффициентов, а также предотвратить создание новых дублирующих коэффициентов.