Лемма о трезубце

Лемма о трезубце или теорема трилистника, или лемма Мансиона (жарг. лемма о куриной лапке) — теорема в геометрии треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Формулировка

В зависимости от названия имеется в виду какое-то её частное свойство, см. иллюстрации.

В наиболее общем случае теорема гласит, что, если биссектриса к стороне <math>BC</math> пересекает описанную окружность в точке <math>L</math>, то выполняется равенство: <math>LB = LI = LC = LI_a</math>, где <math>I</math> — инцентр, <math>I_a</math> — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <math>BC</math>.

Доказательство

Пусть <math>I</math> — центр вписанной окружности. Под <math>\angle A, \angle B</math> будем понимать углы <math>\angle BAC, \angle ABC</math> соответственно. Если луч <math>AI</math> пересекает описанную окружность в точке <math>L</math>, то <math>L</math> является средней точкой дуги <math>BC</math>, отрезок <math>AL</math> является биссектрисой угла <math>\angle A</math>. Проведя отрезок <math>BI</math>, заметим, что

<math>\angle BIL = \angle A / 2 + \angle B/ 2,</math>

потому что <math>\angle BIL</math> внешний к треугольнику <math>\triangle AIB</math>, а также

<math>\angle LBI = \angle LBC + \angle CBI = \angle A/2 + \angle B/2, </math> потому что <math>\angle LBC </math> и <math>\angle LAC = \angle A/2 </math> равны, так как опираются на одну дугу <math>LC </math>.

Значит, треугольник <math>\triangle BLI </math> равнобедренный, т.е, <math>BL = LI. </math> Равенство <math>CL = BL </math> следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол <math>\angle A/2.</math> Таким образом, <math>BL = LI = LC. </math>

Мы показали, что <math>BL = LI = LC </math>. Теперь докажем что «ручка» трезубца <math>LI_a </math> равна этой же величине.

Продлим сторону <math>AB</math> за точку <math>B</math> и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку <math>E</math>. Под <math>\angle A</math> будем понимать <math>\angle BAC,</math> под <math>\angle B</math> будем иметь в виду угол <math>\angle EBC = 180^\circ - \angle ABC.</math>

Тогда нам нужно понять, что треугольник <math>\triangle BLI_a</math> равнобедренный, то есть, что <math>\angle LBI_a = \angle LI_aB</math>.

С одной стороны,

<math>\angle LBI_a = \angle B/2 - \angle A/2</math>

и

<math>\angle EBI_a = \angle A/2 + \angle BI_aA </math> так как <math>\angle EBI_a </math> внешний в треугольнике :<math>\triangle BI_aA, </math> т.е, <math>\angle B/2 - \angle A/2 = \angle BI_aA </math>

Связь с окружностью Эйлера

Через лемму о трезубце можно изящно доказать окружность Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники <math>AH_cHH_b</math>, <math>AH_cH_aC</math>, <math>H_bHH_aC</math> вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы <math>\measuredangle HH_bH_c =\measuredangle HAH_c =\measuredangle HCH_a = \measuredangle HH_bH_a</math> (рис 2).

Из этого следует, что <math>H_bH </math> — биссектриса в треугольнике <math>\triangle H_cH_bH_a </math>. По совершенно аналогичным причинам <math>H_aH </math> и <math>H_cH </math> тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что <math>AB, </math> <math>BC, </math> <math>CA </math> — внешние биссектрисы к треугольнику <math>\triangle H_cH_bH_a </math> (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

Из этого получим, что середины отрезков <math>HA, HB, HC </math> лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5). Получим, что середины сторон <math>AB, BC, CA </math> лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

Замечание

Для того, чтоб доказать окружность Эйлера для тупоугольного треугольника <math>ABC </math> c тупым углом <math>A </math>, достаточно рассмотреть остроугольный треугольник <math>BCH </math> с ортоцентром <math>H </math>, и применить к нему те же рассуждения.

Вариации и обобщения

• Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

См. также

• Формула Эйлера
• Теорема Мансиона
• Вписанная окружность
• Вневписанная окружность
• Инцентр
• Окружность
• Описанная окружность
• Конфигурация Джонсона
• Fuss Theorem

Литература

• [www.rkarasev.ru/common/upload/taskprob.pdf]Р. Н. Карасёв. [www.rkarasev.ru/common/upload/taskprob.pdf Задачи для школьного математического кружка] / Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян. — С. 4.
• www.mccme.ru/free-books/akopyan/Akopyan.pdf

Отрывок, характеризующий Лемма о трезубце

– Ну, ну, шучу, шучу, – сказал он. – Помни одно, княжна: я держусь тех правил, что девица имеет полное право выбирать. И даю тебе свободу. Помни одно: от твоего решения зависит счастье жизни твоей. Обо мне нечего говорить.
– Да я не знаю… mon pere.
– Нечего говорить! Ему велят, он не только на тебе, на ком хочешь женится; а ты свободна выбирать… Поди к себе, обдумай и через час приди ко мне и при нем скажи: да или нет. Я знаю, ты станешь молиться. Ну, пожалуй, молись. Только лучше подумай. Ступай. Да или нет, да или нет, да или нет! – кричал он еще в то время, как княжна, как в тумане, шатаясь, уже вышла из кабинета.
Судьба ее решилась и решилась счастливо. Но что отец сказал о m lle Bourienne, – этот намек был ужасен. Неправда, положим, но всё таки это было ужасно, она не могла не думать об этом. Она шла прямо перед собой через зимний сад, ничего не видя и не слыша, как вдруг знакомый шопот m lle Bourienne разбудил ее. Она подняла глаза и в двух шагах от себя увидала Анатоля, который обнимал француженку и что то шептал ей. Анатоль с страшным выражением на красивом лице оглянулся на княжну Марью и не выпустил в первую секунду талию m lle Bourienne, которая не видала ее.
«Кто тут? Зачем? Подождите!» как будто говорило лицо Анатоля. Княжна Марья молча глядела на них. Она не могла понять этого. Наконец, m lle Bourienne вскрикнула и убежала, а Анатоль с веселой улыбкой поклонился княжне Марье, как будто приглашая ее посмеяться над этим странным случаем, и, пожав плечами, прошел в дверь, ведшую на его половину.
Через час Тихон пришел звать княжну Марью. Он звал ее к князю и прибавил, что и князь Василий Сергеич там. Княжна, в то время как пришел Тихон, сидела на диване в своей комнате и держала в своих объятиях плачущую m lla Bourienne. Княжна Марья тихо гладила ее по голове. Прекрасные глаза княжны, со всем своим прежним спокойствием и лучистостью, смотрели с нежной любовью и сожалением на хорошенькое личико m lle Bourienne.
– Non, princesse, je suis perdue pour toujours dans votre coeur, [Нет, княжна, я навсегда утратила ваше расположение,] – говорила m lle Bourienne.
– Pourquoi? Je vous aime plus, que jamais, – говорила княжна Марья, – et je tacherai de faire tout ce qui est en mon pouvoir pour votre bonheur. [Почему же? Я вас люблю больше, чем когда либо, и постараюсь сделать для вашего счастия всё, что в моей власти.]
– Mais vous me meprisez, vous si pure, vous ne comprendrez jamais cet egarement de la passion. Ah, ce n'est que ma pauvre mere… [Но вы так чисты, вы презираете меня; вы никогда не поймете этого увлечения страсти. Ах, моя бедная мать…]
– Je comprends tout, [Я всё понимаю,] – отвечала княжна Марья, грустно улыбаясь. – Успокойтесь, мой друг. Я пойду к отцу, – сказала она и вышла.
Князь Василий, загнув высоко ногу, с табакеркой в руках и как бы расчувствованный донельзя, как бы сам сожалея и смеясь над своей чувствительностью, сидел с улыбкой умиления на лице, когда вошла княжна Марья. Он поспешно поднес щепоть табаку к носу.
– Ah, ma bonne, ma bonne, [Ах, милая, милая.] – сказал он, вставая и взяв ее за обе руки. Он вздохнул и прибавил: – Le sort de mon fils est en vos mains. Decidez, ma bonne, ma chere, ma douee Marieie qui j'ai toujours aimee, comme ma fille. [Судьба моего сына в ваших руках. Решите, моя милая, моя дорогая, моя кроткая Мари, которую я всегда любил, как дочь.]
Он отошел. Действительная слеза показалась на его глазах.
– Фр… фр… – фыркал князь Николай Андреич.
– Князь от имени своего воспитанника… сына, тебе делает пропозицию. Хочешь ли ты или нет быть женою князя Анатоля Курагина? Ты говори: да или нет! – закричал он, – а потом я удерживаю за собой право сказать и свое мнение. Да, мое мнение и только свое мнение, – прибавил князь Николай Андреич, обращаясь к князю Василью и отвечая на его умоляющее выражение. – Да или нет?
– Мое желание, mon pere, никогда не покидать вас, никогда не разделять своей жизни с вашей. Я не хочу выходить замуж, – сказала она решительно, взглянув своими прекрасными глазами на князя Василья и на отца.
– Вздор, глупости! Вздор, вздор, вздор! – нахмурившись, закричал князь Николай Андреич, взял дочь за руку, пригнул к себе и не поцеловал, но только пригнув свой лоб к ее лбу, дотронулся до нее и так сжал руку, которую он держал, что она поморщилась и вскрикнула.
Князь Василий встал.
– Ma chere, je vous dirai, que c'est un moment que je n'oublrai jamais, jamais; mais, ma bonne, est ce que vous ne nous donnerez pas un peu d'esperance de toucher ce coeur si bon, si genereux. Dites, que peut etre… L'avenir est si grand. Dites: peut etre. [Моя милая, я вам скажу, что эту минуту я никогда не забуду, но, моя добрейшая, дайте нам хоть малую надежду возможности тронуть это сердце, столь доброе и великодушное. Скажите: может быть… Будущность так велика. Скажите: может быть.]
– Князь, то, что я сказала, есть всё, что есть в моем сердце. Я благодарю за честь, но никогда не буду женой вашего сына.