Группа Коксетера
Поделись знанием:
– Как старички пороптали, много вас начальства…
– Разговаривать?.. Бунт!.. Разбойники! Изменники! – бессмысленно, не своим голосом завопил Ростов, хватая за юрот Карпа. – Вяжи его, вяжи! – кричал он, хотя некому было вязать его, кроме Лаврушки и Алпатыча.
Лаврушка, однако, подбежал к Карпу и схватил его сзади за руки.
– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
– А вы все слушайте меня, – Ростов обратился к мужикам: – Сейчас марш по домам, и чтобы голоса вашего я не слыхал.
– Что ж, мы никакой обиды не делали. Мы только, значит, по глупости. Только вздор наделали… Я же сказывал, что непорядки, – послышались голоса, упрекавшие друг друга.
– Вот я же вам говорил, – сказал Алпатыч, вступая в свои права. – Нехорошо, ребята!
– Глупость наша, Яков Алпатыч, – отвечали голоса, и толпа тотчас же стала расходиться и рассыпаться по деревне.
Связанных двух мужиков повели на барский двор. Два пьяные мужика шли за ними.
– Эх, посмотрю я на тебя! – говорил один из них, обращаясь к Карпу.
– Разве можно так с господами говорить? Ты думал что?
– Дурак, – подтверждал другой, – право, дурак!
Через два часа подводы стояли на дворе богучаровского дома. Мужики оживленно выносили и укладывали на подводы господские вещи, и Дрон, по желанию княжны Марьи выпущенный из рундука, куда его заперли, стоя на дворе, распоряжался мужиками.
– Ты ее так дурно не клади, – говорил один из мужиков, высокий человек с круглым улыбающимся лицом, принимая из рук горничной шкатулку. – Она ведь тоже денег стоит. Что же ты ее так то вот бросишь или пол веревку – а она потрется. Я так не люблю. А чтоб все честно, по закону было. Вот так то под рогожку, да сенцом прикрой, вот и важно. Любо!
– Ишь книг то, книг, – сказал другой мужик, выносивший библиотечные шкафы князя Андрея. – Ты не цепляй! А грузно, ребята, книги здоровые!
– Да, писали, не гуляли! – значительно подмигнув, сказал высокий круглолицый мужик, указывая на толстые лексиконы, лежавшие сверху.
(перенаправлено с «Многогранник Коксетера»)
Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях <math>n</math>-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от <math>\pi</math> (то есть равен <math>\pi/k</math> для некоторого целого <math>k</math>). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.
Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.
Примеры
- Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности <math>n</math>:
- <math>n</math>-мерный куб произвольной размерности.
- <math>n</math>-мерный симплекс, образованный точками с координатами <math>(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> такими, что <math>0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant\ldots\leqslant x_n\leqslant 1</math>.
- Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности <math>n</math>:
- правильный <math>n</math>-мерный симплекс со стороной <math>\pi/2</math>.
- Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
- Правильный <math>k</math>-многоугольник с углом <math>\pi/m</math>.
- Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности <math>3</math>.
- Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности <math>4</math>.
Свойства
- Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
- В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
- В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
- Теорема Винберга.[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
- Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
- Многогранники Коксетера являются простыми.
- Обозначим через <math>\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}</math> отражения в гранях многогранника, и пусть <math>\pi/m_{ij}</math> есть двугранный угол между гранями <math>i</math> и <math>j</math>. Положим <math>m_{ij}=\infty</math>, если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и <math>m_{ii}=1</math>. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:
- <math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>
Вариации и обобщения
- Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:
- <math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>,
- где <math>m_{ii}=1</math> и <math>m_{ij}\geqslant 2</math> при <math>i\neq j</math>.
Смотри также
Напишите отзыв о статье "Группа Коксетера"
Литература
- ↑ Э. Б. Винберг, [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=2140&option_lang=rus Гиперболические группы отражений] УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
- H.S.M. Coxeter Discrete groups generated by reflections // Ann. Of Math.. — 1934. — Vol. 35. — P. 588–621. — DOI:10.2307/1968753.
Отрывок, характеризующий Группа Коксетера
– Нам бунтовать нельзя, мы порядки блюдем, – проговорил Карп, и несколько голосов сзади в то же мгновенье заговорили вдруг:– Как старички пороптали, много вас начальства…
– Разговаривать?.. Бунт!.. Разбойники! Изменники! – бессмысленно, не своим голосом завопил Ростов, хватая за юрот Карпа. – Вяжи его, вяжи! – кричал он, хотя некому было вязать его, кроме Лаврушки и Алпатыча.
Лаврушка, однако, подбежал к Карпу и схватил его сзади за руки.
– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
– А вы все слушайте меня, – Ростов обратился к мужикам: – Сейчас марш по домам, и чтобы голоса вашего я не слыхал.
– Что ж, мы никакой обиды не делали. Мы только, значит, по глупости. Только вздор наделали… Я же сказывал, что непорядки, – послышались голоса, упрекавшие друг друга.
– Вот я же вам говорил, – сказал Алпатыч, вступая в свои права. – Нехорошо, ребята!
– Глупость наша, Яков Алпатыч, – отвечали голоса, и толпа тотчас же стала расходиться и рассыпаться по деревне.
Связанных двух мужиков повели на барский двор. Два пьяные мужика шли за ними.
– Эх, посмотрю я на тебя! – говорил один из них, обращаясь к Карпу.
– Разве можно так с господами говорить? Ты думал что?
– Дурак, – подтверждал другой, – право, дурак!
Через два часа подводы стояли на дворе богучаровского дома. Мужики оживленно выносили и укладывали на подводы господские вещи, и Дрон, по желанию княжны Марьи выпущенный из рундука, куда его заперли, стоя на дворе, распоряжался мужиками.
– Ты ее так дурно не клади, – говорил один из мужиков, высокий человек с круглым улыбающимся лицом, принимая из рук горничной шкатулку. – Она ведь тоже денег стоит. Что же ты ее так то вот бросишь или пол веревку – а она потрется. Я так не люблю. А чтоб все честно, по закону было. Вот так то под рогожку, да сенцом прикрой, вот и важно. Любо!
– Ишь книг то, книг, – сказал другой мужик, выносивший библиотечные шкафы князя Андрея. – Ты не цепляй! А грузно, ребята, книги здоровые!
– Да, писали, не гуляли! – значительно подмигнув, сказал высокий круглолицый мужик, указывая на толстые лексиконы, лежавшие сверху.
