Стодвадцатиячейник

Стодвадцатияче́йник — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

Описание

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности <math>144^\circ.</math>

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатах

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел <math>(0;0;\pm2;\pm2);</math>

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками <math>(\pm1;\pm1;\pm1;\pm\sqrt5);</math>

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками <math>(\pm\Phi^{-2};\pm\Phi;\pm\Phi;\pm\Phi),</math> где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение золотого сечения;

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками <math>(\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^2);</math>

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками <math>(0;\pm\Phi^{-2};\pm1;\pm\Phi^2);</math>

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками <math>(0;\pm\Phi^{-1};\pm\Phi;\pm\sqrt5);</math>

• координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками <math>(\pm\Phi^{-1};\pm1;\pm\Phi;\pm2).</math>

Начало координат <math>(0;0;0;0)</math> будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины <math>a,</math> то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

<math>V_4 = \frac{15}{4}\left(105+47\sqrt5\right)a^4 \approx 787{,}8569810a^4,</math>

<math>S_3 = 30\left(15+7\sqrt5\right)a^3 \approx 919{,}5742753a^3.</math>

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

<math>R = \frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+3\sqrt2\right)a \approx 3{,}7024592a,</math>

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

<math>\rho_1 = \frac{1}{2}\left(\sqrt{15}+2\sqrt3\right)a \approx 3{,}6685425a,</math>

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

<math>\rho_2 = \sqrt{\frac{1}{10}\left(65+29\sqrt5\right)}\;a \approx 3{,}6034146a,</math>

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

<math>r = \frac{1}{4}\left(7+3\sqrt5\right)a \approx 3{,}4270510a.</math>

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/120-Cell.html Стодвадцатиячейник] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [youtube.com/watch?v=MFXRRW9goTs Построение стодвадцатиячейника] на YouTube
• [www.dimensions-math.org/Dim_CH3_RU.htm Главы 3 и 4: Четвертое измерение]. Dimensions. dimensions-math.org. [web.archive.org/web/20150304144443/www.dimensions-math.org/Dim_CH3_RU.htm Архивировано из первоисточника 4 марта 2015].

Отрывок, характеризующий Стодвадцатиячейник

«И это я мог бы быть на его месте?» подумал про себя Ростов и, едва удерживая слезы сожаления об участи государя, в совершенном отчаянии поехал дальше, не зная, куда и зачем он теперь едет.
Его отчаяние было тем сильнее, что он чувствовал, что его собственная слабость была причиной его горя.
Он мог бы… не только мог бы, но он должен был подъехать к государю. И это был единственный случай показать государю свою преданность. И он не воспользовался им… «Что я наделал?» подумал он. И он повернул лошадь и поскакал назад к тому месту, где видел императора; но никого уже не было за канавой. Только ехали повозки и экипажи. От одного фурмана Ростов узнал, что Кутузовский штаб находится неподалеку в деревне, куда шли обозы. Ростов поехал за ними.
Впереди его шел берейтор Кутузова, ведя лошадей в попонах. За берейтором ехала повозка, и за повозкой шел старик дворовый, в картузе, полушубке и с кривыми ногами.
– Тит, а Тит! – сказал берейтор.
– Чего? – рассеянно отвечал старик.
– Тит! Ступай молотить.
– Э, дурак, тьфу! – сердито плюнув, сказал старик. Прошло несколько времени молчаливого движения, и повторилась опять та же шутка.
В пятом часу вечера сражение было проиграно на всех пунктах. Более ста орудий находилось уже во власти французов.
Пржебышевский с своим корпусом положил оружие. Другие колонны, растеряв около половины людей, отступали расстроенными, перемешанными толпами.
Остатки войск Ланжерона и Дохтурова, смешавшись, теснились около прудов на плотинах и берегах у деревни Аугеста.
В 6 м часу только у плотины Аугеста еще слышалась жаркая канонада одних французов, выстроивших многочисленные батареи на спуске Праценских высот и бивших по нашим отступающим войскам.
В арьергарде Дохтуров и другие, собирая батальоны, отстреливались от французской кавалерии, преследовавшей наших. Начинало смеркаться. На узкой плотине Аугеста, на которой столько лет мирно сиживал в колпаке старичок мельник с удочками, в то время как внук его, засучив рукава рубашки, перебирал в лейке серебряную трепещущую рыбу; на этой плотине, по которой столько лет мирно проезжали на своих парных возах, нагруженных пшеницей, в мохнатых шапках и синих куртках моравы и, запыленные мукой, с белыми возами уезжали по той же плотине, – на этой узкой плотине теперь между фурами и пушками, под лошадьми и между колес толпились обезображенные страхом смерти люди, давя друг друга, умирая, шагая через умирающих и убивая друг друга для того только, чтобы, пройдя несколько шагов, быть точно. так же убитыми.
Каждые десять секунд, нагнетая воздух, шлепало ядро или разрывалась граната в средине этой густой толпы, убивая и обрызгивая кровью тех, которые стояли близко. Долохов, раненый в руку, пешком с десятком солдат своей роты (он был уже офицер) и его полковой командир, верхом, представляли из себя остатки всего полка. Влекомые толпой, они втеснились во вход к плотине и, сжатые со всех сторон, остановились, потому что впереди упала лошадь под пушкой, и толпа вытаскивала ее. Одно ядро убило кого то сзади их, другое ударилось впереди и забрызгало кровью Долохова. Толпа отчаянно надвинулась, сжалась, тронулась несколько шагов и опять остановилась.
Пройти эти сто шагов, и, наверное, спасен; простоять еще две минуты, и погиб, наверное, думал каждый. Долохов, стоявший в середине толпы, рванулся к краю плотины, сбив с ног двух солдат, и сбежал на скользкий лед, покрывший пруд.
– Сворачивай, – закричал он, подпрыгивая по льду, который трещал под ним, – сворачивай! – кричал он на орудие. – Держит!…
Лед держал его, но гнулся и трещал, и очевидно было, что не только под орудием или толпой народа, но под ним одним он сейчас рухнется. На него смотрели и жались к берегу, не решаясь еще ступить на лед. Командир полка, стоявший верхом у въезда, поднял руку и раскрыл рот, обращаясь к Долохову. Вдруг одно из ядер так низко засвистело над толпой, что все нагнулись. Что то шлепнулось в мокрое, и генерал упал с лошадью в лужу крови. Никто не взглянул на генерала, не подумал поднять его.
– Пошел на лед! пошел по льду! Пошел! вороти! аль не слышишь! Пошел! – вдруг после ядра, попавшего в генерала, послышались бесчисленные голоса, сами не зная, что и зачем кричавшие.