Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств <math>L^p</math>.

Формулировка

Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство с мерой, а <math>L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство функций вида <math>f:X \to \mathbb{R}</math> с конечной интегрируемой <math>p</math>‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

<math>\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}</math>,

где <math>p \ge 1 </math> , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть <math>f \in L^p</math>, а <math>g \in L^q</math>, где <math>p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1</math>. Тогда <math>f \cdot g \in L^1</math>, и

<math>\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q</math>.

Доказательство

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть <math>X</math> — пространство с мерой <math>\mu</math>, <math>E \subset X</math>, <math>E</math> измеримо. Тогда:
<math> f \in L^{p}, g \in L^{q}, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \Rightarrow

 \int\limits_E |fg| \, d\mu < +\infty

,\;

 \int\limits_E \left|fg\right| \, d\mu 

\leq

 \left(\int\limits_E |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
 \left(\int\limits_E |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}

</math>
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
<math>

 a, b \geq 0, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1

\Rightarrow

 a^{1/p} b^{1/q}

\leq

 \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q}

</math>

Положим
<math>

 a = \dfrac{|f(x)|^{p}}{\int\limits_E |f|^{p} d\mu}

\quad

 b = \dfrac{|g(x)|^{q}}{\int\limits_E |g|^{q} d\mu}

\quad

 I_1 = \int\limits_E |f|^{p} d\mu > 0

\quad

 I_2 = \int\limits_E |g|^{q} d\mu > 0

</math>

Применяя неравенство, получаем:
<math>

 |f(x) g(x)|

\leq

 I_1^{1/p} I_2^{1/q}
 \left(
   \dfrac{|f(x)|^{p}}{p \cdot I_1} + \dfrac{|g(x)|^{q}}{q \cdot I_2}
 \right)

</math>

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству <math>E</math> (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по <math>E</math>, получаем:
<math> \int\limits_E |f g| \, d\mu \leq

 I_1^{1/p} I_2^{1/q}
 \left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\right)

=

 I_1^{1/p} I_2^{1/q}

</math>
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если <math>I_1</math> или <math>I_2</math> равен 0, то это значит, что <math>f</math> или <math>g</math> эквивалентны нулю на <math>E</math>, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив <math>p = q = 2</math>, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства <math>L^2</math>.

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство <math>E = \mathbb{R}^n</math> или <math>\mathbb{C}^n</math>. <math>L^p</math>-норма в этом пространстве имеет вид:

<math>\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}</math>,

и тогда

<math> \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E</math>.

Пространство l^p

Пусть <math>X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m</math> — счётная мера на <math>\mathbb{N}</math>. Тогда множество всех последовательностей <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, таких что:

<math>\|x\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty</math>,

называется <math>l^p</math>. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

<math> \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q</math>.

Вероятностное пространство

Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Тогда <math>L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> состоит из случайных величин с конечным <math>p</math>-м моментом: <math>\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty</math>, где символ <math>\mathbb{E}</math> обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

<math> \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q</math>.

См. также

• Пространство Lp
• Неравенство Йенсена
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

Литература

• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

Отрывок, характеризующий Неравенство Гёльдера

Князь Василий сидел на кресле, в своей фамильярной позе, высоко заложив ногу на ногу. Щеки его сильно перепрыгивали и, опустившись, казались толще внизу; но он имел вид человека, мало занятого разговором двух дам.
– Voyons, ma bonne Анна Михайловна, laissez faire Catiche. [Оставьте Катю делать, что она знает.] Вы знаете, как граф ее любит.
– Я и не знаю, что в этой бумаге, – говорила княжна, обращаясь к князю Василью и указывая на мозаиковый портфель, который она держала в руках. – Я знаю только, что настоящее завещание у него в бюро, а это забытая бумага…
Она хотела обойти Анну Михайловну, но Анна Михайловна, подпрыгнув, опять загородила ей дорогу.
– Я знаю, милая, добрая княжна, – сказала Анна Михайловна, хватаясь рукой за портфель и так крепко, что видно было, она не скоро его пустит. – Милая княжна, я вас прошу, я вас умоляю, пожалейте его. Je vous en conjure… [Умоляю вас…]
Княжна молчала. Слышны были только звуки усилий борьбы зa портфель. Видно было, что ежели она заговорит, то заговорит не лестно для Анны Михайловны. Анна Михайловна держала крепко, но, несмотря на то, голос ее удерживал всю свою сладкую тягучесть и мягкость.
– Пьер, подойдите сюда, мой друг. Я думаю, что он не лишний в родственном совете: не правда ли, князь?
– Что же вы молчите, mon cousin? – вдруг вскрикнула княжна так громко, что в гостиной услыхали и испугались ее голоса. – Что вы молчите, когда здесь Бог знает кто позволяет себе вмешиваться и делать сцены на пороге комнаты умирающего. Интриганка! – прошептала она злобно и дернула портфель изо всей силы.
Но Анна Михайловна сделала несколько шагов, чтобы не отстать от портфеля, и перехватила руку.
– Oh! – сказал князь Василий укоризненно и удивленно. Он встал. – C'est ridicule. Voyons, [Это смешно. Ну, же,] пустите. Я вам говорю.
Княжна пустила.
– И вы!
Анна Михайловна не послушалась его.
– Пустите, я вам говорю. Я беру всё на себя. Я пойду и спрошу его. Я… довольно вам этого.
– Mais, mon prince, [Но, князь,] – говорила Анна Михайловна, – после такого великого таинства дайте ему минуту покоя. Вот, Пьер, скажите ваше мнение, – обратилась она к молодому человеку, который, вплоть подойдя к ним, удивленно смотрел на озлобленное, потерявшее всё приличие лицо княжны и на перепрыгивающие щеки князя Василья.
– Помните, что вы будете отвечать за все последствия, – строго сказал князь Василий, – вы не знаете, что вы делаете.
– Мерзкая женщина! – вскрикнула княжна, неожиданно бросаясь на Анну Михайловну и вырывая портфель.
Князь Василий опустил голову и развел руками.
В эту минуту дверь, та страшная дверь, на которую так долго смотрел Пьер и которая так тихо отворялась, быстро, с шумом откинулась, стукнув об стену, и средняя княжна выбежала оттуда и всплеснула руками.
– Что вы делаете! – отчаянно проговорила она. – II s'en va et vous me laissez seule. [Он умирает, а вы меня оставляете одну.]
Старшая княжна выронила портфель. Анна Михайловна быстро нагнулась и, подхватив спорную вещь, побежала в спальню. Старшая княжна и князь Василий, опомнившись, пошли за ней. Через несколько минут первая вышла оттуда старшая княжна с бледным и сухим лицом и прикушенною нижнею губой. При виде Пьера лицо ее выразило неудержимую злобу.
– Да, радуйтесь теперь, – сказала она, – вы этого ждали.
И, зарыдав, она закрыла лицо платком и выбежала из комнаты.
За княжной вышел князь Василий. Он, шатаясь, дошел до дивана, на котором сидел Пьер, и упал на него, закрыв глаза рукой. Пьер заметил, что он был бледен и что нижняя челюсть его прыгала и тряслась, как в лихорадочной дрожи.
– Ах, мой друг! – сказал он, взяв Пьера за локоть; и в голосе его была искренность и слабость, которых Пьер никогда прежде не замечал в нем. – Сколько мы грешим, сколько мы обманываем, и всё для чего? Мне шестой десяток, мой друг… Ведь мне… Всё кончится смертью, всё. Смерть ужасна. – Он заплакал.