Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

<math>y=f(x)</math>,   <math>f:X\to Y</math>,

заданной уравнением

<math>F(x,y)=z_0</math>,   <math>F:X\times Y\to Z</math>

и значение <math>z_0\in Z</math> фиксировано.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция <math>F:\R\times\R\to\R</math> непрерывна в некоторой окрестности точки <math>(x_0,y_0)</math> <math>F(x_0,y_0)=0</math> и при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток <math> I=I_x \times I_y</math>, являющийся окрестностью точки <math>(x_0,y_0)</math>, и такая непрерывная функция <math>f:I_x\to I_y</math>, что для любой точки <math>(x,y) \in I</math> <math>F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)</math>

Обычно дополнительно предполагается, что функция <math>F</math> является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки <math>(x_0,y_0)</math>. В том случае строгая монотонность следует из условия <math>F_y'(x_0,y_0)\ne 0\quad</math>, где <math>F_y'</math> обозначает частную производную <math>F</math> по <math>y</math>. Более того, в этом случае функция <math>f</math> также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

<math>f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.</math>

Многомерный случай

Пусть <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> — пространства с координатами <math>x=(x_1,\dots,x_n)</math> и <math>y=(y_1,\dots,y_m)</math>, соответственно. Рассмотрим отображение <math>F=(F_1,\ldots,F_m),</math> <math>F_i = F_i(x,y),</math> которое отображает некоторую окрестность <math>W</math> точки <math>(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m</math> в пространство <math>\R^m</math>.

Предположим, что отображение <math>F</math> удовлетворяет следующим условиямː <math>F \in C^{k}(W),</math> <math>k \geq 1,</math> т.е. <math>F</math> является <math>k</math> раз непрерывно дифференцируемым в <math>W,</math> <math>F(x_0,y_0)=0,</math> якобиан отображения <math>y\mapsto F(x_0,y)</math> не равен нулю в точке <math>y_0,</math> т.е. определитель матрицы <math>\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)</math> не равен нулю. Тогда существуют окрестности <math>U</math> и <math>V</math> точек <math>x_0</math> и <math>y_0</math> в пространствах <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> соответственно, причём <math>U\times V\subset W</math>, и отображение <math>f : U \to V,</math> <math>f \in C^{k}(U),</math> такие, что <math>F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)</math> для всех <math>x \in U</math> и <math>y \in V</math>. Отображение <math>f</math> определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː

Предположим, что отображение <math>F</math> удовлетворяет следующим условиямː <math>F</math> является непрерывным в <math>W,</math> <math>F(x_0,y_0)=0,</math> существуют окрестности <math>U</math> и <math>V</math> точек <math>x_0</math> и <math>y_0</math> в пространствах <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> соответственно, причём <math>U\times V\subset W</math>, такие, что для каждого фиксированного <math>x \in U</math> отображение <math>y\mapsto F(x,y)</math> является взаимно однозначным в <math>V</math>. Тогда существует такое непрерывное отображение <math>f : U \to V</math>, что <math>F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)</math> для всех <math>x \in U</math> и <math>y \in V</math>.

См. также

• Теорема об обратной функции

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 - §33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972

Отрывок, характеризующий Теорема о неявной функции

Но хотя все и знали, что надо было уйти, оставался еще стыд сознания того, что надо бежать. И нужен был внешний толчок, который победил бы этот стыд. И толчок этот явился в нужное время. Это было так называемое у французов le Hourra de l'Empereur [императорское ура].
На другой день после совета Наполеон, рано утром, притворяясь, что хочет осматривать войска и поле прошедшего и будущего сражения, с свитой маршалов и конвоя ехал по середине линии расположения войск. Казаки, шнырявшие около добычи, наткнулись на самого императора и чуть чуть не поймали его. Ежели казаки не поймали в этот раз Наполеона, то спасло его то же, что губило французов: добыча, на которую и в Тарутине и здесь, оставляя людей, бросались казаки. Они, не обращая внимания на Наполеона, бросились на добычу, и Наполеон успел уйти.
Когда вот вот les enfants du Don [сыны Дона] могли поймать самого императора в середине его армии, ясно было, что нечего больше делать, как только бежать как можно скорее по ближайшей знакомой дороге. Наполеон, с своим сорокалетним брюшком, не чувствуя в себе уже прежней поворотливости и смелости, понял этот намек. И под влиянием страха, которого он набрался от казаков, тотчас же согласился с Мутоном и отдал, как говорят историки, приказание об отступлении назад на Смоленскую дорогу.
То, что Наполеон согласился с Мутоном и что войска пошли назад, не доказывает того, что он приказал это, но что силы, действовавшие на всю армию, в смысле направления ее по Можайской дороге, одновременно действовали и на Наполеона.


Когда человек находится в движении, он всегда придумывает себе цель этого движения. Для того чтобы идти тысячу верст, человеку необходимо думать, что что то хорошее есть за этими тысячью верст. Нужно представление об обетованной земле для того, чтобы иметь силы двигаться.
Обетованная земля при наступлении французов была Москва, при отступлении была родина. Но родина была слишком далеко, и для человека, идущего тысячу верст, непременно нужно сказать себе, забыв о конечной цели: «Нынче я приду за сорок верст на место отдыха и ночлега», и в первый переход это место отдыха заслоняет конечную цель и сосредоточивает на себе все желанья и надежды. Те стремления, которые выражаются в отдельном человеке, всегда увеличиваются в толпе.
Для французов, пошедших назад по старой Смоленской дороге, конечная цель родины была слишком отдалена, и ближайшая цель, та, к которой, в огромной пропорции усиливаясь в толпе, стремились все желанья и надежды, – была Смоленск. Не потому, чтобы люди знала, что в Смоленске было много провианту и свежих войск, не потому, чтобы им говорили это (напротив, высшие чины армии и сам Наполеон знали, что там мало провианта), но потому, что это одно могло им дать силу двигаться и переносить настоящие лишения. Они, и те, которые знали, и те, которые не знали, одинаково обманывая себя, как к обетованной земле, стремились к Смоленску.
Выйдя на большую дорогу, французы с поразительной энергией, с быстротою неслыханной побежали к своей выдуманной цели. Кроме этой причины общего стремления, связывавшей в одно целое толпы французов и придававшей им некоторую энергию, была еще другая причина, связывавшая их. Причина эта состояла в их количестве. Сама огромная масса их, как в физическом законе притяжения, притягивала к себе отдельные атомы людей. Они двигались своей стотысячной массой как целым государством.
Каждый человек из них желал только одного – отдаться в плен, избавиться от всех ужасов и несчастий. Но, с одной стороны, сила общего стремления к цели Смоленска увлекала каждою в одном и том же направлении; с другой стороны – нельзя было корпусу отдаться в плен роте, и, несмотря на то, что французы пользовались всяким удобным случаем для того, чтобы отделаться друг от друга и при малейшем приличном предлоге отдаваться в плен, предлоги эти не всегда случались. Самое число их и тесное, быстрое движение лишало их этой возможности и делало для русских не только трудным, но невозможным остановить это движение, на которое направлена была вся энергия массы французов. Механическое разрывание тела не могло ускорить дальше известного предела совершавшийся процесс разложения.