Оператор (математика)

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Операторы»)
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор.

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что функция или морфизм.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:





Основная терминология

Пусть оператор <math>A</math> действует из множества <math>X</math> в множество <math>Y</math>.

Простые примеры

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции <math>x(t)</math> согласно правилу <math>A</math> в другую функцию <math>y(t)</math> имеет вид <math>y(t)=A\{x(t)\}</math> или, проще, <math>y=Ax</math>.

Примеры подобных преобразований — умножение на число: <math>y(t)=cx(t)</math> и дифференцирование: <math>\scriptstyle y(t)=\frac{dx(t)}{dt}</math>. Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:

<math>F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-it\omega}\,dt=\mathcal{F}\{f(t)\}.</math>

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции <math>y</math>, вообще говоря, в каждой точке <math>t</math> зависит не только от <math>x(t)</math>, а от значений функции <math>x</math> во всех точках <math>t</math>. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке <math>\omega</math> меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки <math>t</math>.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения <math>n</math>-мерного вектора на матрицу размером <math>n\times m</math>. Этот оператор отображает <math>n</math>-мерное пространство векторов в <math>m</math>-мерное.

Линейные операторы

Основная статья: Линейное отображение

Оператор <math>L</math> (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

  1. может применяться почленно к сумме аргументов:
    <math>L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2)</math>;
  2. скаляр (постоянную величину) <math>c</math> можно выносить за знак оператора:
    <math>L(cx)=cL(x)</math>;

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство <math>L(0)=0</math>.

Оператор <math>L</math> называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

<math>L\{x\}=L_0\{x\}+\varphi</math>,

где <math>L_0</math> — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций <math>y_k</math> являются линейными функциями от старых значений <math>x_k</math>:

<math>y_k=\sum_{l=1}^n T_{kl}\,x_l</math>.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных <math>K(t,\;\omega)</math>, и называется ядром линейного интегрального преобразования:

<math>\varphi(t)=\int\limits_V\!K(t,\omega)f(\omega)\,d\omega=K\{f(\omega)\}.</math>

Функция-операнд <math>f(\omega)</math> в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда <math>f(\omega)</math> заменяется вектором <math>W</math>. В этом случае <math>\varphi(t)</math> представимо конечным или бесконечным рядом функций:

<math>\varphi(t)=\sum_{i=1}^n T_i(t)w_i.</math>

Единичный (тождественный) оператор

Оператор <math>E</math>, ставящий в соответствие каждому вектору <math>\mathbf{a}</math> сам вектор <math>\mathbf{a}</math>, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

<math>E\mathbf{a}=\mathbf{a},</math>

то есть как матричный оператор определяется равенством

<math>\sum_k E_{ik}\,a_k=a_i</math>

и как интегральный оператор — равенством

<math>\int\limits_\alpha^\beta\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x)</math>.

Единичная матрица <math>E_{ik}</math> записывается большей частью с помощью символа <math>\delta_{ik}=\delta_{ki}</math> (символ Кронекера). Имеем: <math>\delta_{ik}=1</math> при <math>i=k</math> и <math>\delta_{ik}=0</math> при <math>i\neq k</math>.

Единичное ядро <math>E(x,t)</math> записывается в виде <math>E(x,t)=\delta(t-x)</math> (дельта-функция). <math>\delta(x-t)=0</math> всюду, кроме <math>x=t</math>, где функция становится бесконечной и притом такой, что

<math>\int\limits_\alpha^\beta\!\delta(x-t)\,dt=1</math>.

Запись

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
<math>Q(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n);</math>
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
<math>(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\;Q;</math>
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
<math>x_1\;Q\;x_2;</math>
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор <math>Q</math> над функцией <math>f</math> обычно для краткости записывается <math>Qf</math> вместо <math>Q(f)</math>; скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением <math>Q(fg)</math>. <math>Q</math>, действующий на <math>f(x)</math>, также записывают <math>(Qf)(x)</math>. Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные <math>n!</math> (факториал «!», справа от операнда), <math>-n</math> (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции <math>\mathcal{F}\{f(t)\}</math>. Возведение в степень <math>n^x</math> можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Символ линейного дифференциального оператора

Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.

Пусть <math>x=(x_1,\ldots, x_n)</math> и имеются мультииндексы <math>\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)</math> и <math>\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math>. Тогда положим

<math>\begin{align}D^\alpha x^\beta&= \frac{\part^{\vert\alpha\vert}}{\part x_1^{\alpha_1} \cdots \part x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\

&= \frac{\part^{\alpha_1}}{\part x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\part^{\alpha_n}}{\part x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}</math>

Пусть P -- линейный дифференциальный оператор порядка k на евклидовом пространстве Rd. Тогда P является полиномом от производной D, в мультииндексной записи это будет записываться так

<math>P = p(x,D) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha(x) D^\alpha.</math>

Полином p, по определению, является полным символом P:

<math>\sigma P(\xi) = p(x,\xi) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha\xi^\alpha.</math>

Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени σP:

<math>\sigma_P (\xi) = \sum_{|\alpha|= k} a_\alpha\xi^\alpha</math>

и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.

См. также

Источники

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».


<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение

 Для улучшения этой статьи по математике желательно?:

Напишите отзыв о статье "Оператор (математика)"

Отрывок, характеризующий Оператор (математика)

– Attendez, j'ai des vues sur vous pour ce soir. [У меня есть на вас виды в этот вечер.] Она взглянула на Элен и улыбнулась ей. – Ma bonne Helene, il faut, que vous soyez charitable pour ma рauvre tante, qui a une adoration pour vous. Allez lui tenir compagnie pour 10 minutes. [Моя милая Элен, надо, чтобы вы были сострадательны к моей бедной тетке, которая питает к вам обожание. Побудьте с ней минут 10.] А чтоб вам не очень скучно было, вот вам милый граф, который не откажется за вами следовать.
Красавица направилась к тетушке, но Пьера Анна Павловна еще удержала подле себя, показывая вид, как будто ей надо сделать еще последнее необходимое распоряжение.
– Не правда ли, она восхитительна? – сказала она Пьеру, указывая на отплывающую величавую красавицу. – Et quelle tenue! [И как держит себя!] Для такой молодой девушки и такой такт, такое мастерское уменье держать себя! Это происходит от сердца! Счастлив будет тот, чьей она будет! С нею самый несветский муж будет невольно занимать самое блестящее место в свете. Не правда ли? Я только хотела знать ваше мнение, – и Анна Павловна отпустила Пьера.
Пьер с искренностью отвечал Анне Павловне утвердительно на вопрос ее об искусстве Элен держать себя. Ежели он когда нибудь думал об Элен, то думал именно о ее красоте и о том не обыкновенном ее спокойном уменьи быть молчаливо достойною в свете.
Тетушка приняла в свой уголок двух молодых людей, но, казалось, желала скрыть свое обожание к Элен и желала более выразить страх перед Анной Павловной. Она взглядывала на племянницу, как бы спрашивая, что ей делать с этими людьми. Отходя от них, Анна Павловна опять тронула пальчиком рукав Пьера и проговорила:
– J'espere, que vous ne direz plus qu'on s'ennuie chez moi, [Надеюсь, вы не скажете другой раз, что у меня скучают,] – и взглянула на Элен.
Элен улыбнулась с таким видом, который говорил, что она не допускала возможности, чтобы кто либо мог видеть ее и не быть восхищенным. Тетушка прокашлялась, проглотила слюни и по французски сказала, что она очень рада видеть Элен; потом обратилась к Пьеру с тем же приветствием и с той же миной. В середине скучливого и спотыкающегося разговора Элен оглянулась на Пьера и улыбнулась ему той улыбкой, ясной, красивой, которой она улыбалась всем. Пьер так привык к этой улыбке, так мало она выражала для него, что он не обратил на нее никакого внимания. Тетушка говорила в это время о коллекции табакерок, которая была у покойного отца Пьера, графа Безухого, и показала свою табакерку. Княжна Элен попросила посмотреть портрет мужа тетушки, который был сделан на этой табакерке.
– Это, верно, делано Винесом, – сказал Пьер, называя известного миниатюриста, нагибаясь к столу, чтоб взять в руки табакерку, и прислушиваясь к разговору за другим столом.
Он привстал, желая обойти, но тетушка подала табакерку прямо через Элен, позади ее. Элен нагнулась вперед, чтобы дать место, и, улыбаясь, оглянулась. Она была, как и всегда на вечерах, в весьма открытом по тогдашней моде спереди и сзади платье. Ее бюст, казавшийся всегда мраморным Пьеру, находился в таком близком расстоянии от его глаз, что он своими близорукими глазами невольно различал живую прелесть ее плеч и шеи, и так близко от его губ, что ему стоило немного нагнуться, чтобы прикоснуться до нее. Он слышал тепло ее тела, запах духов и скрып ее корсета при движении. Он видел не ее мраморную красоту, составлявшую одно целое с ее платьем, он видел и чувствовал всю прелесть ее тела, которое было закрыто только одеждой. И, раз увидав это, он не мог видеть иначе, как мы не можем возвратиться к раз объясненному обману.
«Так вы до сих пор не замечали, как я прекрасна? – как будто сказала Элен. – Вы не замечали, что я женщина? Да, я женщина, которая может принадлежать всякому и вам тоже», сказал ее взгляд. И в ту же минуту Пьер почувствовал, что Элен не только могла, но должна была быть его женою, что это не может быть иначе.
Он знал это в эту минуту так же верно, как бы он знал это, стоя под венцом с нею. Как это будет? и когда? он не знал; не знал даже, хорошо ли это будет (ему даже чувствовалось, что это нехорошо почему то), но он знал, что это будет.
Пьер опустил глаза, опять поднял их и снова хотел увидеть ее такою дальнею, чужою для себя красавицею, какою он видал ее каждый день прежде; но он не мог уже этого сделать. Не мог, как не может человек, прежде смотревший в тумане на былинку бурьяна и видевший в ней дерево, увидав былинку, снова увидеть в ней дерево. Она была страшно близка ему. Она имела уже власть над ним. И между ним и ею не было уже никаких преград, кроме преград его собственной воли.
– Bon, je vous laisse dans votre petit coin. Je vois, que vous y etes tres bien, [Хорошо, я вас оставлю в вашем уголке. Я вижу, вам там хорошо,] – сказал голос Анны Павловны.
И Пьер, со страхом вспоминая, не сделал ли он чего нибудь предосудительного, краснея, оглянулся вокруг себя. Ему казалось, что все знают, так же как и он, про то, что с ним случилось.
Через несколько времени, когда он подошел к большому кружку, Анна Павловна сказала ему:
– On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Говорят, вы отделываете свой петербургский дом.]
(Это была правда: архитектор сказал, что это нужно ему, и Пьер, сам не зная, зачем, отделывал свой огромный дом в Петербурге.)
– C'est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Ваsile. Il est bon d'avoir un ami comme le prince, – сказала она, улыбаясь князю Василию. – J'en sais quelque chose. N'est ce pas? [Это хорошо, но не переезжайте от князя Василия. Хорошо иметь такого друга. Я кое что об этом знаю. Не правда ли?] А вы еще так молоды. Вам нужны советы. Вы не сердитесь на меня, что я пользуюсь правами старух. – Она замолчала, как молчат всегда женщины, чего то ожидая после того, как скажут про свои года. – Если вы женитесь, то другое дело. – И она соединила их в один взгляд. Пьер не смотрел на Элен, и она на него. Но она была всё так же страшно близка ему. Он промычал что то и покраснел.
Вернувшись домой, Пьер долго не мог заснуть, думая о том, что с ним случилось. Что же случилось с ним? Ничего. Он только понял, что женщина, которую он знал ребенком, про которую он рассеянно говорил: «да, хороша», когда ему говорили, что Элен красавица, он понял, что эта женщина может принадлежать ему.
«Но она глупа, я сам говорил, что она глупа, – думал он. – Что то гадкое есть в том чувстве, которое она возбудила во мне, что то запрещенное. Мне говорили, что ее брат Анатоль был влюблен в нее, и она влюблена в него, что была целая история, и что от этого услали Анатоля. Брат ее – Ипполит… Отец ее – князь Василий… Это нехорошо», думал он; и в то же время как он рассуждал так (еще рассуждения эти оставались неоконченными), он заставал себя улыбающимся и сознавал, что другой ряд рассуждений всплывал из за первых, что он в одно и то же время думал о ее ничтожестве и мечтал о том, как она будет его женой, как она может полюбить его, как она может быть совсем другою, и как всё то, что он об ней думал и слышал, может быть неправдою. И он опять видел ее не какою то дочерью князя Василья, а видел всё ее тело, только прикрытое серым платьем. «Но нет, отчего же прежде не приходила мне в голову эта мысль?» И опять он говорил себе, что это невозможно; что что то гадкое, противоестественное, как ему казалось, нечестное было бы в этом браке. Он вспоминал ее прежние слова, взгляды, и слова и взгляды тех, кто их видал вместе. Он вспомнил слова и взгляды Анны Павловны, когда она говорила ему о доме, вспомнил тысячи таких намеков со стороны князя Василья и других, и на него нашел ужас, не связал ли он уж себя чем нибудь в исполнении такого дела, которое, очевидно, нехорошо и которое он не должен делать. Но в то же время, как он сам себе выражал это решение, с другой стороны души всплывал ее образ со всею своею женственной красотою.


В ноябре месяце 1805 года князь Василий должен был ехать на ревизию в четыре губернии. Он устроил для себя это назначение с тем, чтобы побывать заодно в своих расстроенных имениях, и захватив с собой (в месте расположения его полка) сына Анатоля, с ним вместе заехать к князю Николаю Андреевичу Болконскому с тем, чтоб женить сына на дочери этого богатого старика. Но прежде отъезда и этих новых дел, князю Василью нужно было решить дела с Пьером, который, правда, последнее время проводил целые дни дома, т. е. у князя Василья, у которого он жил, был смешон, взволнован и глуп (как должен быть влюбленный) в присутствии Элен, но всё еще не делал предложения.
«Tout ca est bel et bon, mais il faut que ca finisse», [Всё это хорошо, но надо это кончить,] – сказал себе раз утром князь Василий со вздохом грусти, сознавая, что Пьер, стольким обязанный ему (ну, да Христос с ним!), не совсем хорошо поступает в этом деле. «Молодость… легкомыслие… ну, да Бог с ним, – подумал князь Василий, с удовольствием чувствуя свою доброту: – mais il faut, que ca finisse. После завтра Лёлины именины, я позову кое кого, и ежели он не поймет, что он должен сделать, то уже это будет мое дело. Да, мое дело. Я – отец!»
Пьер полтора месяца после вечера Анны Павловны и последовавшей за ним бессонной, взволнованной ночи, в которую он решил, что женитьба на Элен была бы несчастие, и что ему нужно избегать ее и уехать, Пьер после этого решения не переезжал от князя Василья и с ужасом чувствовал, что каждый день он больше и больше в глазах людей связывается с нею, что он не может никак возвратиться к своему прежнему взгляду на нее, что он не может и оторваться от нее, что это будет ужасно, но что он должен будет связать с нею свою судьбу. Может быть, он и мог бы воздержаться, но не проходило дня, чтобы у князя Василья (у которого редко бывал прием) не было бы вечера, на котором должен был быть Пьер, ежели он не хотел расстроить общее удовольствие и обмануть ожидания всех. Князь Василий в те редкие минуты, когда бывал дома, проходя мимо Пьера, дергал его за руку вниз, рассеянно подставлял ему для поцелуя выбритую, морщинистую щеку и говорил или «до завтра», или «к обеду, а то я тебя не увижу», или «я для тебя остаюсь» и т. п. Но несмотря на то, что, когда князь Василий оставался для Пьера (как он это говорил), он не говорил с ним двух слов, Пьер не чувствовал себя в силах обмануть его ожидания. Он каждый день говорил себе всё одно и одно: «Надо же, наконец, понять ее и дать себе отчет: кто она? Ошибался ли я прежде или теперь ошибаюсь? Нет, она не глупа; нет, она прекрасная девушка! – говорил он сам себе иногда. – Никогда ни в чем она не ошибается, никогда она ничего не сказала глупого. Она мало говорит, но то, что она скажет, всегда просто и ясно. Так она не глупа. Никогда она не смущалась и не смущается. Так она не дурная женщина!» Часто ему случалось с нею начинать рассуждать, думать вслух, и всякий раз она отвечала ему на это либо коротким, но кстати сказанным замечанием, показывавшим, что ее это не интересует, либо молчаливой улыбкой и взглядом, которые ощутительнее всего показывали Пьеру ее превосходство. Она была права, признавая все рассуждения вздором в сравнении с этой улыбкой.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Оператор_(математика)&oldid=63655666»