Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение

Пусть <math>(X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2</math> — два пространства с мерами. Тогда <math>X_1\times X_2</math> — декартово произведение множеств <math>X_1</math> и <math>X_2</math>.

<math>\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2</math> является семейством подмножеств <math>X_1\times X_2</math>. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является <math>\sigma</math>-алгеброй. Введём обозначение

<math>\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2=\sigma(\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2)</math>

— минимальная <math>\sigma</math>-алгебра, содержащая <math>\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2</math>. Тогда <math>(X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2)</math> — измеримое пространство. Определим на нём меру <math>\mu_1\otimes\mu_2\colon\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2\to\R</math> следующим образом:

<math>\mu_1\otimes\mu_2(A)=\mu_1(A_1)\cdot\mu_2(A_2),\quad\forall A=A_1\times A_2\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2.</math>

Тогда <math>\mu_1\otimes\mu_2</math> продолжается единственным образом с <math>\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2</math> на <math>\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2</math>:

<math>\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_2}\mu_1(A_{x_2})\,\mu_2(dx_2),\quad A\in\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2</math>

или

<math>\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_1}\mu_2(A_{x_1})\,\mu_1(dx_1),</math>

где

<math>A_{x_2}=\{x_1\in X_1\mid(x_1,\;x_2)\in A)\}</math> — сечение <math>A</math> вдоль <math>x_2\in X_2</math>, а

<math>A_{x_1}=\{x_2\in X_2\mid(x_1,\;x_2)\in A)\}</math> — сечение <math>A</math> вдоль <math>x_1\in X_1</math>.

Получившаяся мера <math>\mu_1\otimes\mu_2</math> называется произведением мер <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math>. Пространство с мерой <math>(X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2)</math> называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

• Если <math>(\Omega_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mathbb{P}_i),\;i=1,\;2</math> — два вероятностных пространства, то <math>(\Omega_1\times\Omega_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2)</math> называется их произведением.
• Если <math>X,\;Y\colon\Omega\to\R</math> — случайные величины, то <math>\mathbb{P}^X,\;\mathbb{P}^Y</math> — распределения на <math>\R</math> <math>X</math> и <math>Y</math> соответственно, а <math>\mathbb{P}^{X,\;Y}</math> — распределение на <math>\R^2</math> случайного вектора <math>(X,\;Y)^{\top}</math>. Если <math>X,\;Y</math> — независимы, то

<math>\mathbb{P}^{X,\;Y}=\mathbb{P}^X\otimes\mathbb{P}^Y.</math>

Пример

Мера Лебега <math>m_n</math> на <math>\R^n</math> может быть получена как произведение <math>n</math> одномерных мер Лебега <math>m_1</math> на <math>\R</math>:

<math>\mathcal{B}(\R^n)=\bigotimes\limits_{i=1}^n\mathcal{B}(\R),</math>

где <math>\mathcal{B}(X)</math> обозначает борелевскую <math>\sigma</math>-алгебру на пространстве <math>X</math>, и

<math>m_n=\bigotimes\limits_{i=1}^n m_1.</math>

См. также

• Теорема Тонелли — Фубини.

Отрывок, характеризующий Произведение мер

– Мы с ним говорили про вас на днях, – продолжал Кочубей, – о ваших вольных хлебопашцах…
– Да, это вы, князь, отпустили своих мужиков? – сказал Екатерининский старик, презрительно обернувшись на Болконского.
– Маленькое именье ничего не приносило дохода, – отвечал Болконский, чтобы напрасно не раздражать старика, стараясь смягчить перед ним свой поступок.
– Vous craignez d'etre en retard, [Боитесь опоздать,] – сказал старик, глядя на Кочубея.
– Я одного не понимаю, – продолжал старик – кто будет землю пахать, коли им волю дать? Легко законы писать, а управлять трудно. Всё равно как теперь, я вас спрашиваю, граф, кто будет начальником палат, когда всем экзамены держать?
– Те, кто выдержат экзамены, я думаю, – отвечал Кочубей, закидывая ногу на ногу и оглядываясь.
– Вот у меня служит Пряничников, славный человек, золото человек, а ему 60 лет, разве он пойдет на экзамены?…
– Да, это затруднительно, понеже образование весьма мало распространено, но… – Граф Кочубей не договорил, он поднялся и, взяв за руку князя Андрея, пошел навстречу входящему высокому, лысому, белокурому человеку, лет сорока, с большим открытым лбом и необычайной, странной белизной продолговатого лица. На вошедшем был синий фрак, крест на шее и звезда на левой стороне груди. Это был Сперанский. Князь Андрей тотчас узнал его и в душе его что то дрогнуло, как это бывает в важные минуты жизни. Было ли это уважение, зависть, ожидание – он не знал. Вся фигура Сперанского имела особенный тип, по которому сейчас можно было узнать его. Ни у кого из того общества, в котором жил князь Андрей, он не видал этого спокойствия и самоуверенности неловких и тупых движений, ни у кого он не видал такого твердого и вместе мягкого взгляда полузакрытых и несколько влажных глаз, не видал такой твердости ничего незначащей улыбки, такого тонкого, ровного, тихого голоса, и, главное, такой нежной белизны лица и особенно рук, несколько широких, но необыкновенно пухлых, нежных и белых. Такую белизну и нежность лица князь Андрей видал только у солдат, долго пробывших в госпитале. Это был Сперанский, государственный секретарь, докладчик государя и спутник его в Эрфурте, где он не раз виделся и говорил с Наполеоном.
Сперанский не перебегал глазами с одного лица на другое, как это невольно делается при входе в большое общество, и не торопился говорить. Он говорил тихо, с уверенностью, что будут слушать его, и смотрел только на то лицо, с которым говорил.