Статистика Максвелла — Больцмана
| Статистическая физика | ||||||||||||
| <math>S = k_B \, \ln\Omega</math>
| ||||||||||||
| Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория | ||||||||||||
| ||||||||||||
| См. также: Портал:Физика |
Статистика Максвелла — Больцмана — статистический метод описания физических систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (то есть классического идеального газа); предложена в 1871 г. австрийским физиком Л. Больцманом.
Вывод распределения
Из общего распределения Гиббса. Рассмотрим систему частиц, находящуюся в однородном поле. В таком поле каждая молекула идеального газа обладает полной энергией
- <math>
\varepsilon = \varepsilon_{kin} + u(x,y,z)
</math>, где <math>\varepsilon_{kin}</math> — кинетическая энергия её поступательного движения, а <math>u</math> — потенциальная энергия во внешнем поле, которая зависит от её положения.
Подставим это выражение для энергии в распределение Гиббса для молекулы идеального газа <math>
\left(
\mathrm{d} w =
\frac{1}{z} \mathrm{exp} \left( - \frac{\varepsilon(p,q)}{ \theta} \right) \cdot \frac{ \mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z \mathrm{d}V}{ h^3}
\right)
</math> (где <math>\mathrm{d} w </math> — вероятность того, что частица находится в состоянии со значениями координат <math>q</math> и импульсов <math>p</math>, в интервале <math>\mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z \mathrm{d}V</math>)
имеем:
- <math>
\mathrm{d} w = \frac{1}{z h^3} \mathrm{exp} \left(- \frac{ \varepsilon_{kin} + u}{kT} \right) \cdot \mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z \mathrm{d}V
</math>,
где интеграл состояний равен:
- <math>
z = \int \mathrm{exp} \left(
- \frac{ \varepsilon_{kin} + u}{kT}
\right)
\cdot \frac{\mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z \mathrm{d}V}{ h^3}
</math>
интегрирование ведется по всем возможным значениям переменных. Далее интеграл состояний можно написать в виде:
- <math>
z= \frac{1}{h^3} \int \mathrm{exp} \left(- \frac{ \varepsilon_{kin}}{kT} \right) \cdot \mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z
\cdot
\int \mathrm{exp} \left(- \frac[[Участник:|]]{kT} \right) \mathrm{d}V
=
\left( \frac{2 \pi m k T}{h^2} \right)^{3/2}
\cdot
\int \mathrm{exp} \left(- \frac[[Участник:|]]{kT} \right) \mathrm{d}V
</math>,
мы находим, что нормированное на единицу распределение Гиббса для молекулы газа при наличии внешнего поля имеет вид:
- <math>
\mathrm{d} w = \frac{1}{(2 \pi m k T )^{3/2}}
\cdot
\mathrm{exp} \left(- \fracШаблон:P^2{2mkT} \right) \mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z
\cdot
\frac {e^{- \frac{u}{kT}} \mathrm{d}V}
{\int e^{- \frac{u}{kT}} \mathrm{d}V} \qquad\qquad (1)
</math>.
Полученное распределение вероятностей, характеризующее вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объёма, носит название распределение Максвелла — Больцмана.
Некоторые свойства
При рассмотрении распределения Максвелла — Больцмана, бросается в глаза важное свойство — его можно представить как произведение двух множителей:
- <math>
\mathrm{d} w = \left[
\frac{1}{(2 \pi m k T )^{3/2}}
\cdot
\mathrm{exp} \left(- \fracШаблон:P^2{2mkT} \right) \mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z
\right]
\cdot
\left[
\frac {e^{- \frac{u}{kT}} \mathrm{d}V}
{\int e^{- \frac{u}{kT}} \mathrm{d}V}
\right] \qquad\qquad (2)
</math>. Первый множитель есть не что иное, как распределение Максвелла, оно характеризует распределение вероятностей по импульсам. Второй множитель зависит только лишь от координат частиц и определяется видом её потенциальной энергии. Он характеризует вероятность обнаружения частицы в объёме dV.
Согласно теории вероятностей, распределение Максвелла — Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий — вероятность данного значения импульса и данного положения молекулы. Первая из них:
- <math>
\mathrm{d} w = \frac{1}{(2 \pi m k T )^{3/2}}
\cdot
\mathrm{exp} \left(- \fracШаблон:P^2{2mkT} \right) \mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z
</math> представляет распределение Максвелла; вторая вероятность:
- <math>
\mathrm{d} w =
\frac {e^{- \frac{u}{kT}} \mathrm{d}V}
{\int e^{- \frac{u}{kT}} \mathrm{d}V}
</math>
— распределение Больцмана. Очевидно, что каждое из них нормировано на единицу.
Распределение Больцмана является частным случаем канонического распределения Гиббса для идеального газа во внешнем потенциальном поле, так как при отсутствии взаимодействия между частицами распределение Гиббса распадается на произведение распределений Больцмана для отдельных частиц.
Независимость вероятностей дает важный результат: вероятность данного значения импульса совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения молекулы не зависит от её импульса. Это значит, что распределение частиц по импульсам (скоростям) не зависит от поля, другими словами остается тем же самым от точки к точке пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы, или, что то же самое, число частиц.
См. также
Напишите отзыв о статье "Статистика Максвелла — Больцмана"
Отрывок, характеризующий Статистика Максвелла — Больцмана
– Или потерял кого, милый человек? Сами вы из благородных, что ли? Чей ребенок то? – спрашивали у него.Пьер отвечал, что ребенок принадлежал женщине и черном салопе, которая сидела с детьми на этом месте, и спрашивал, не знает ли кто ее и куда она перешла.
– Ведь это Анферовы должны быть, – сказал старый дьякон, обращаясь к рябой бабе. – Господи помилуй, господи помилуй, – прибавил он привычным басом.
– Где Анферовы! – сказала баба. – Анферовы еще с утра уехали. А это либо Марьи Николавны, либо Ивановы.
– Он говорит – женщина, а Марья Николавна – барыня, – сказал дворовый человек.
– Да вы знаете ее, зубы длинные, худая, – говорил Пьер.
– И есть Марья Николавна. Они ушли в сад, как тут волки то эти налетели, – сказала баба, указывая на французских солдат.
– О, господи помилуй, – прибавил опять дьякон.
– Вы пройдите вот туда то, они там. Она и есть. Все убивалась, плакала, – сказала опять баба. – Она и есть. Вот сюда то.
Но Пьер не слушал бабу. Он уже несколько секунд, не спуская глаз, смотрел на то, что делалось в нескольких шагах от него. Он смотрел на армянское семейство и двух французских солдат, подошедших к армянам. Один из этих солдат, маленький вертлявый человечек, был одет в синюю шинель, подпоясанную веревкой. На голове его был колпак, и ноги были босые. Другой, который особенно поразил Пьера, был длинный, сутуловатый, белокурый, худой человек с медлительными движениями и идиотическим выражением лица. Этот был одет в фризовый капот, в синие штаны и большие рваные ботфорты. Маленький француз, без сапог, в синей шипели, подойдя к армянам, тотчас же, сказав что то, взялся за ноги старика, и старик тотчас же поспешно стал снимать сапоги. Другой, в капоте, остановился против красавицы армянки и молча, неподвижно, держа руки в карманах, смотрел на нее.
– Возьми, возьми ребенка, – проговорил Пьер, подавая девочку и повелительно и поспешно обращаясь к бабе. – Ты отдай им, отдай! – закричал он почти на бабу, сажая закричавшую девочку на землю, и опять оглянулся на французов и на армянское семейство. Старик уже сидел босой. Маленький француз снял с него последний сапог и похлопывал сапогами один о другой. Старик, всхлипывая, говорил что то, но Пьер только мельком видел это; все внимание его было обращено на француза в капоте, который в это время, медлительно раскачиваясь, подвинулся к молодой женщине и, вынув руки из карманов, взялся за ее шею.
Красавица армянка продолжала сидеть в том же неподвижном положении, с опущенными длинными ресницами, и как будто не видала и не чувствовала того, что делал с нею солдат.
Пока Пьер пробежал те несколько шагов, которые отделяли его от французов, длинный мародер в капоте уж рвал с шеи армянки ожерелье, которое было на ней, и молодая женщина, хватаясь руками за шею, кричала пронзительным голосом.
– Laissez cette femme! [Оставьте эту женщину!] – бешеным голосом прохрипел Пьер, схватывая длинного, сутоловатого солдата за плечи и отбрасывая его. Солдат упал, приподнялся и побежал прочь. Но товарищ его, бросив сапоги, вынул тесак и грозно надвинулся на Пьера.
– Voyons, pas de betises! [Ну, ну! Не дури!] – крикнул он.
Пьер был в том восторге бешенства, в котором он ничего не помнил и в котором силы его удесятерялись. Он бросился на босого француза и, прежде чем тот успел вынуть свой тесак, уже сбил его с ног и молотил по нем кулаками. Послышался одобрительный крик окружавшей толпы, в то же время из за угла показался конный разъезд французских уланов. Уланы рысью подъехали к Пьеру и французу и окружили их. Пьер ничего не помнил из того, что было дальше. Он помнил, что он бил кого то, его били и что под конец он почувствовал, что руки его связаны, что толпа французских солдат стоит вокруг него и обыскивает его платье.
– Il a un poignard, lieutenant, [Поручик, у него кинжал,] – были первые слова, которые понял Пьер.
– Ah, une arme! [А, оружие!] – сказал офицер и обратился к босому солдату, который был взят с Пьером.
– C'est bon, vous direz tout cela au conseil de guerre, [Хорошо, хорошо, на суде все расскажешь,] – сказал офицер. И вслед за тем повернулся к Пьеру: – Parlez vous francais vous? [Говоришь ли по французски?]
Пьер оглядывался вокруг себя налившимися кровью глазами и не отвечал. Вероятно, лицо его показалось очень страшно, потому что офицер что то шепотом сказал, и еще четыре улана отделились от команды и стали по обеим сторонам Пьера.
