Теорема Абеля — Руффини

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени <math>n</math> при <math>n \ge 5</math> неразрешимо в радикалах.

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух фактах.

• При степени <math>n</math> многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена может являться группа перестановок <math>S_n</math>.
• При <math>n \geq 5</math> группа перестановок <math>S_n</math> не является разрешимой.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение <math>n</math>-й степени при <math>n \ge 5</math> не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать замкнутую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение <math>x^5-5x^4-10x^3-10x^2-5x-1=0</math> имеет корень <math>x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16}</math>.

Хотя уравнение неразрешимо в радикалах. Для корней уравнения 5 степени существуют формулы с использованием тета-функций.

Замкнутые формулы для степеней меньше пятой

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать замкнутую формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).

История

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывалось на идеях Лагранжа связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, она позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

• Однородное уравнение
• Возвратное уравнение

См. также

• Теория Галуа
• Корень Бринга
• Метод Лилля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
• Резольвента алгебраического уравнения
• Уравнение шестой степени

Литература

• Edgar Dehn. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Columbia University Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.
• John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.
• Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.
• Siegfried Bosch, Algebra. 6. Auflage. Springer, 2006. ISBN 3-540-29880-0, ISBN 978-3-540-29880-9.
• [www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях.] МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-86-3.
• Лекция 5 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. [biblio.mccme.ru/node/2392 Математический дивертисмент]. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/AbelsImpossibilityTheorem.html Abel's Impossibility Theorem] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/GaloissTheorem.html Galois's Theorem] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• David Terr & Eric W. Weisstein. [mathworld.wolfram.com/GaloisGroup.html Galois Group] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SolvableGroup.html Solvable Group] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Теорема Абеля — Руффини

– Однако ты не зарывайся, – сказал Долохов, мельком взглянув на Ростова, и продолжая метать.


Через полтора часа времени большинство игроков уже шутя смотрели на свою собственную игру.
Вся игра сосредоточилась на одном Ростове. Вместо тысячи шестисот рублей за ним была записана длинная колонна цифр, которую он считал до десятой тысячи, но которая теперь, как он смутно предполагал, возвысилась уже до пятнадцати тысяч. В сущности запись уже превышала двадцать тысяч рублей. Долохов уже не слушал и не рассказывал историй; он следил за каждым движением рук Ростова и бегло оглядывал изредка свою запись за ним. Он решил продолжать игру до тех пор, пока запись эта не возрастет до сорока трех тысяч. Число это было им выбрано потому, что сорок три составляло сумму сложенных его годов с годами Сони. Ростов, опершись головою на обе руки, сидел перед исписанным, залитым вином, заваленным картами столом. Одно мучительное впечатление не оставляло его: эти ширококостые, красноватые руки с волосами, видневшимися из под рубашки, эти руки, которые он любил и ненавидел, держали его в своей власти.
«Шестьсот рублей, туз, угол, девятка… отыграться невозможно!… И как бы весело было дома… Валет на пе… это не может быть!… И зачем же он это делает со мной?…» думал и вспоминал Ростов. Иногда он ставил большую карту; но Долохов отказывался бить её, и сам назначал куш. Николай покорялся ему, и то молился Богу, как он молился на поле сражения на Амштетенском мосту; то загадывал, что та карта, которая первая попадется ему в руку из кучи изогнутых карт под столом, та спасет его; то рассчитывал, сколько было шнурков на его куртке и с столькими же очками карту пытался ставить на весь проигрыш, то за помощью оглядывался на других играющих, то вглядывался в холодное теперь лицо Долохова, и старался проникнуть, что в нем делалось.
«Ведь он знает, что значит для меня этот проигрыш. Не может же он желать моей погибели? Ведь он друг был мне. Ведь я его любил… Но и он не виноват; что ж ему делать, когда ему везет счастие? И я не виноват, говорил он сам себе. Я ничего не сделал дурного. Разве я убил кого нибудь, оскорбил, пожелал зла? За что же такое ужасное несчастие? И когда оно началось? Еще так недавно я подходил к этому столу с мыслью выиграть сто рублей, купить мама к именинам эту шкатулку и ехать домой. Я так был счастлив, так свободен, весел! И я не понимал тогда, как я был счастлив! Когда же это кончилось, и когда началось это новое, ужасное состояние? Чем ознаменовалась эта перемена? Я всё так же сидел на этом месте, у этого стола, и так же выбирал и выдвигал карты, и смотрел на эти ширококостые, ловкие руки. Когда же это совершилось, и что такое совершилось? Я здоров, силен и всё тот же, и всё на том же месте. Нет, это не может быть! Верно всё это ничем не кончится».
Он был красен, весь в поту, несмотря на то, что в комнате не было жарко. И лицо его было страшно и жалко, особенно по бессильному желанию казаться спокойным.
Запись дошла до рокового числа сорока трех тысяч. Ростов приготовил карту, которая должна была итти углом от трех тысяч рублей, только что данных ему, когда Долохов, стукнув колодой, отложил ее и, взяв мел, начал быстро своим четким, крепким почерком, ломая мелок, подводить итог записи Ростова.
– Ужинать, ужинать пора! Вот и цыгане! – Действительно с своим цыганским акцентом уж входили с холода и говорили что то какие то черные мужчины и женщины. Николай понимал, что всё было кончено; но он равнодушным голосом сказал:
– Что же, не будешь еще? А у меня славная карточка приготовлена. – Как будто более всего его интересовало веселье самой игры.
«Всё кончено, я пропал! думал он. Теперь пуля в лоб – одно остается», и вместе с тем он сказал веселым голосом: