Теорема Леви о непрерывности
Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.
Формулировка
Пусть <math>\scriptstyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty}</math> последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины <math>X_n</math>, где <math>\scriptstyle n \in \mathbb{N}</math>, символом <math>\phi_n(t)</math>. Тогда если <math>\scriptstyle X_n \to X</math> по распределению при <math>\scriptstyle n \to \infty</math>, и <math>\phi(t)</math> — характеристическая функция <math>X</math>, то
- <math>\varphi_n(t) \to \varphi(t)\quad \forall t \in \mathbb{R}</math>.
Обратно, если <math>\scriptstyle \varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\scriptstyle \varphi \in C(0)</math> — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то <math>\varphi(t)</math> является характеристической функцией некоторой случайной величины <math>X</math>, и
- <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.
Замечание
Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если <math>\scriptstyle \varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\phi_n(t)</math> — характеристическая функция <math>X_n</math>, и <math>\phi(t)</math> — характеристическая функция <math>X</math>, то <math>\scriptstyle X_n \to X</math> по распределению при <math>\scriptstyle n \to \infty</math>. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.
См. также
Напишите отзыв о статье "Теорема Леви о непрерывности"
Отрывок, характеризующий Теорема Леви о непрерывности
– А кто тебе сказал, что такое зло для другого человека? – спросил он.– Зло? Зло? – сказал Пьер, – мы все знаем, что такое зло для себя.
– Да мы знаем, но то зло, которое я знаю для себя, я не могу сделать другому человеку, – всё более и более оживляясь говорил князь Андрей, видимо желая высказать Пьеру свой новый взгляд на вещи. Он говорил по французски. Je ne connais l dans la vie que deux maux bien reels: c'est le remord et la maladie. II n'est de bien que l'absence de ces maux. [Я знаю в жизни только два настоящих несчастья: это угрызение совести и болезнь. И единственное благо есть отсутствие этих зол.] Жить для себя, избегая только этих двух зол: вот вся моя мудрость теперь.
– А любовь к ближнему, а самопожертвование? – заговорил Пьер. – Нет, я с вами не могу согласиться! Жить только так, чтобы не делать зла, чтоб не раскаиваться? этого мало. Я жил так, я жил для себя и погубил свою жизнь. И только теперь, когда я живу, по крайней мере, стараюсь (из скромности поправился Пьер) жить для других, только теперь я понял всё счастие жизни. Нет я не соглашусь с вами, да и вы не думаете того, что вы говорите.
Князь Андрей молча глядел на Пьера и насмешливо улыбался.
– Вот увидишь сестру, княжну Марью. С ней вы сойдетесь, – сказал он. – Может быть, ты прав для себя, – продолжал он, помолчав немного; – но каждый живет по своему: ты жил для себя и говоришь, что этим чуть не погубил свою жизнь, а узнал счастие только тогда, когда стал жить для других. А я испытал противуположное. Я жил для славы. (Ведь что же слава? та же любовь к другим, желание сделать для них что нибудь, желание их похвалы.) Так я жил для других, и не почти, а совсем погубил свою жизнь. И с тех пор стал спокойнее, как живу для одного себя.
– Да как же жить для одного себя? – разгорячаясь спросил Пьер. – А сын, а сестра, а отец?
– Да это всё тот же я, это не другие, – сказал князь Андрей, а другие, ближние, le prochain, как вы с княжной Марьей называете, это главный источник заблуждения и зла. Le prochаin [Ближний] это те, твои киевские мужики, которым ты хочешь сделать добро.
