Теорема Чевы

Теорема Чевы — это классическая теорема геометрии треугольника. Эта теорема аффинная, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Теорема Чевы установлена в 1678 г. итальянским инженером Джованни Чевой, в честь которого она и была названа.

Чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы <math>AA', BB', CC'</math> треугольника <math>ABC</math> конкурентны (то есть, проходят через одну точку или параллельны) тогда и только тогда, когда: <math>|BA'|\cdot |CB'|\cdot |AC'|=|CA'|\cdot |AB'|\cdot |BC'|</math>

Эту теорему можно обобщить на случай когда точки <math>A', B', C'</math> лежат на продолжениях сторон <math> BC, CA, AB</math>. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков <math>XY</math> и <math>ZT</math> и обозначается <math>{XY}/{ZT}</math>

Пусть <math>A', B', C'</math> лежат на прямых <math> BC, CA, AB</math> треугольника <math>ABC</math>. Прямые <math>AA', BB', CC'</math> конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: <math>\frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1</math>

Вариации и обобщения

• Тригонометрическая теорема Чевы:

  <math>\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1.</math>

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть, <math>\angle XYZ</math> есть угол, на который надо повернуть прямую <math>XY</math> против часовой стрелки, чтоб получить прямую <math>YZ</math>.

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. [ilib.mccme.ru/djvu/geometry/kokseter.htm Новые встречи с геометрией]. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека "Математическое просвещение"». М.: МЦНМО, 2002.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 66-68. — ISBN 5-94057-170-0.
• Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.

См. также

• Теорема Менелая

Отрывок, характеризующий Теорема Чевы

– Еще нет, – вставил Наполеон и, как будто боясь отдаться своему чувству, нахмурился и слегка кивнул головой, давая этим чувствовать Балашеву, что он может продолжать.
Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.
Наполеон заметил смущение Балашева при высказывании последних слов; лицо его дрогнуло, левая икра ноги начала мерно дрожать. Не сходя с места, он голосом, более высоким и поспешным, чем прежде, начал говорить. Во время последующей речи Балашев, не раз опуская глаза, невольно наблюдал дрожанье икры в левой ноге Наполеона, которое тем более усиливалось, чем более он возвышал голос.
– Я желаю мира не менее императора Александра, – начал он. – Не я ли осьмнадцать месяцев делаю все, чтобы получить его? Я осьмнадцать месяцев жду объяснений. Но для того, чтобы начать переговоры, чего же требуют от меня? – сказал он, нахмурившись и делая энергически вопросительный жест своей маленькой белой и пухлой рукой.
– Отступления войск за Неман, государь, – сказал Балашев.
– За Неман? – повторил Наполеон. – Так теперь вы хотите, чтобы отступили за Неман – только за Неман? – повторил Наполеон, прямо взглянув на Балашева.
Балашев почтительно наклонил голову.
Вместо требования четыре месяца тому назад отступить из Номерании, теперь требовали отступить только за Неман. Наполеон быстро повернулся и стал ходить по комнате.
– Вы говорите, что от меня требуют отступления за Неман для начатия переговоров; но от меня требовали точно так же два месяца тому назад отступления за Одер и Вислу, и, несмотря на то, вы согласны вести переговоры.
Он молча прошел от одного угла комнаты до другого и опять остановился против Балашева. Лицо его как будто окаменело в своем строгом выражении, и левая нога дрожала еще быстрее, чем прежде. Это дрожанье левой икры Наполеон знал за собой. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Дрожание моей левой икры есть великий признак,] – говорил он впоследствии.