Теория Томаса — Ферми

Теория Томаса — Ферми (модель Томаса — Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шредингера Энрико Ферми и Люэлином Томасом. Она основывается не на волновой функции, а формулируется в терминах электронной плотности и рассматривается как предшественник современной теории функционала плотности. Модель Томаса — Ферми правильна только в пределе бесконечного ядерного заряда. Используя это приближение для реальных систем теория дает плохие количественные предсказания и даже не в состоянии воспроизвести некоторые общие черты, такие как плотность оболочечной структуры атомов и осцилляции Фриделя в твердых телах. Она, однако, нашла приложения во многих областях благодаря возможности получать правильное качественное поведение аналитически и легкости с которой она может быть решена. Выражение кинетической энергии в теории Томаса-Ферми также используется в качестве компонента более сложного приближения для плотности кинетической энергии в современных теориях функционала плотности, где можно обойтись без орбиталей.

Кинетическая энергия

Для малого элемента объема ΔV, и для атома в основном состоянии, мы можем заполнить в сферическом пространстве импульсов объем V_f  до импульса Ферми p_f , и, таким образом,

<math>V_f = \frac{4}{3}\pi p_{f}^3(\vec{r}) .</math>

где <math>\vec{r} </math> точка в ΔV.

Соответствующее фазовое пространство имеет объем

<math>\Delta V_{ph} = V_f \ \Delta V = \frac{4}{3}\pi p_{f}^3(\vec{r}) \ \Delta V .</math>

Электроны в ΔV_ph  распределены равномерно с двумя электронами в h³ этого объема фазового пространства, где h постоянная Планка. Тогда число электронов в ΔV_ph  составит

<math>\Delta N_{ph} = \frac{2}{h^3} \ \Delta V_{ph} = \frac{8\pi}{3h^3}p_{f}^3(\vec{r}) \ \Delta V .</math>

Число электронов в ΔV :

<math>\Delta N = n(\vec{r}) \ \Delta V </math>

где <math>n(\vec{r}) </math> плотность электронов.

Приравнивая число электронов в ΔV и в ΔV_ph  даёт,

<math>n(\vec{r})=\frac{8\pi}{3h^3}p_{f}^3(\vec{r}) .</math>

Доля электронов в <math>\vec{r}</math> чей импульс лежит между импульсами p и p+dp составит

<math>\begin{align}

F_\vec{r} (p) dp & = \frac{4 \pi p^2 dp} {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \qquad \qquad p \le p_f(\vec{r}) \\
& = 0  \qquad \qquad  \qquad \quad otherwise \\

\end{align} </math>

Используя классическое выражение для кинетической энергии электрона с массой m_e, кинетической энергии в единице объема в <math>\vec{r}</math> для электронов атома

<math>\begin{align}

t(\vec{r}) & = \int  \frac{p^2}{2m_e} \  n(\vec{r}) \ F_\vec{r} (p) \ dp \\
& = n(\vec{r}) \int_{0}^{p_f(\vec{r})}  \frac{p^2}{2m_e} \ \ \frac{4 \pi p^2 } {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \ dp \\
& = C_F \ [n(\vec{r})]^{5/3} 

\end{align} </math>

где использовалось предыдущее выражение, связывающее <math>n(\vec{r})</math> и <math>p_f(\vec{r})</math> и

<math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{\frac{2}{3}}.</math>

Интегрирование кинетической энергии в единице объема <math>t(\vec{r})</math> во всем пространстве, приводит к полной кинетической энергии электронов,

<math>T=C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ .</math>

Этот результат показывает, что полная кинетическая энергия электронов может быть выражена в терминах только пространственно зависимой плотности электронов <math>n(\vec{r}) ,</math> согласно модели Томаса-Ферми. Как таковые, они смогли рассчитать энергию атома с помощью этого выражения для кинетической энергии в сочетании с классическими выражениями для ядерно-электронных и электрон-электронных взаимодействий (которые могут быть представлена в виде электронной плотности).

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия электронов атома, за счет электрического притяжения положительно заряженного ядра:

<math>U_{eN} = \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r</math>

где <math>V_N(\vec{r})</math> есть потенциальная энергия электрона в точке <math>\vec{r}</math> находящегося в электрическом полем ядра. В случае когда ядро находится в точке <math>\vec{r}=0</math> и зарядом Ze, где Z представляет собой натуральное число e элементарный заряд,

<math>V_N(\vec{r}) = \frac{-Ze^2}{r} . </math>

Потенциальная энергия электронов за счет их взаимного электрического отталкивания равна

<math>U_{ee} = \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' .</math>

Полная энергия

Полная энергия электрона равна сумме их кинетической и потенциальной энергий,

<math> \begin{align}

E & = T \ + \ U_{eN} \ + \ U_{ee} \\
& = C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ + \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \ + \ \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \  d^3r \ d^3r'  \\

\end{align} </math>

Литература

1. R. G. Parr and W. Yang. Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. — New York: Oxford University Press, 1989. — ISBN 978-0-19-509276-9.
2. N. H. March. Electron Density Theory of Atoms and Molecules. — Academic Press, 1992. — ISBN 978-0-12-470525-8.
3. N. H. March. 1. Origins – The Thomas–Fermi Theory // Theory of The Inhomogeneous Electron Gas. — Plenum Press, 1983. — ISBN 978-0-306-41207-3.

Отрывок, характеризующий Теория Томаса — Ферми

В третьем часу еще никто не заснул, как явился вахмистр с приказом выступать к местечку Островне.
Все с тем же говором и хохотом офицеры поспешно стали собираться; опять поставили самовар на грязной воде. Но Ростов, не дождавшись чаю, пошел к эскадрону. Уже светало; дождик перестал, тучи расходились. Было сыро и холодно, особенно в непросохшем платье. Выходя из корчмы, Ростов и Ильин оба в сумерках рассвета заглянули в глянцевитую от дождя кожаную докторскую кибиточку, из под фартука которой торчали ноги доктора и в середине которой виднелся на подушке чепчик докторши и слышалось сонное дыхание.
– Право, она очень мила! – сказал Ростов Ильину, выходившему с ним.
– Прелесть какая женщина! – с шестнадцатилетней серьезностью отвечал Ильин.
Через полчаса выстроенный эскадрон стоял на дороге. Послышалась команда: «Садись! – солдаты перекрестились и стали садиться. Ростов, выехав вперед, скомандовал: «Марш! – и, вытянувшись в четыре человека, гусары, звуча шлепаньем копыт по мокрой дороге, бренчаньем сабель и тихим говором, тронулись по большой, обсаженной березами дороге, вслед за шедшей впереди пехотой и батареей.
Разорванные сине лиловые тучи, краснея на восходе, быстро гнались ветром. Становилось все светлее и светлее. Ясно виднелась та курчавая травка, которая заседает всегда по проселочным дорогам, еще мокрая от вчерашнего дождя; висячие ветви берез, тоже мокрые, качались от ветра и роняли вбок от себя светлые капли. Яснее и яснее обозначались лица солдат. Ростов ехал с Ильиным, не отстававшим от него, стороной дороги, между двойным рядом берез.
Ростов в кампании позволял себе вольность ездить не на фронтовой лошади, а на казацкой. И знаток и охотник, он недавно достал себе лихую донскую, крупную и добрую игреневую лошадь, на которой никто не обскакивал его. Ехать на этой лошади было для Ростова наслаждение. Он думал о лошади, об утре, о докторше и ни разу не подумал о предстоящей опасности.
Прежде Ростов, идя в дело, боялся; теперь он не испытывал ни малейшего чувства страха. Не оттого он не боялся, что он привык к огню (к опасности нельзя привыкнуть), но оттого, что он выучился управлять своей душой перед опасностью. Он привык, идя в дело, думать обо всем, исключая того, что, казалось, было бы интереснее всего другого, – о предстоящей опасности. Сколько он ни старался, ни упрекал себя в трусости первое время своей службы, он не мог этого достигнуть; но с годами теперь это сделалось само собою. Он ехал теперь рядом с Ильиным между березами, изредка отрывая листья с веток, которые попадались под руку, иногда дотрогиваясь ногой до паха лошади, иногда отдавая, не поворачиваясь, докуренную трубку ехавшему сзади гусару, с таким спокойным и беззаботным видом, как будто он ехал кататься. Ему жалко было смотреть на взволнованное лицо Ильина, много и беспокойно говорившего; он по опыту знал то мучительное состояние ожидания страха и смерти, в котором находился корнет, и знал, что ничто, кроме времени, не поможет ему.
Только что солнце показалось на чистой полосе из под тучи, как ветер стих, как будто он не смел портить этого прелестного после грозы летнего утра; капли еще падали, но уже отвесно, – и все затихло. Солнце вышло совсем, показалось на горизонте и исчезло в узкой и длинной туче, стоявшей над ним. Через несколько минут солнце еще светлее показалось на верхнем крае тучи, разрывая ее края. Все засветилось и заблестело. И вместе с этим светом, как будто отвечая ему, раздались впереди выстрелы орудий.
Не успел еще Ростов обдумать и определить, как далеки эти выстрелы, как от Витебска прискакал адъютант графа Остермана Толстого с приказанием идти на рысях по дороге.
Эскадрон объехал пехоту и батарею, также торопившуюся идти скорее, спустился под гору и, пройдя через какую то пустую, без жителей, деревню, опять поднялся на гору. Лошади стали взмыливаться, люди раскраснелись.
– Стой, равняйся! – послышалась впереди команда дивизионера.
– Левое плечо вперед, шагом марш! – скомандовали впереди.
И гусары по линии войск прошли на левый фланг позиции и стали позади наших улан, стоявших в первой линии. Справа стояла наша пехота густой колонной – это были резервы; повыше ее на горе видны были на чистом чистом воздухе, в утреннем, косом и ярком, освещении, на самом горизонте, наши пушки. Впереди за лощиной видны были неприятельские колонны и пушки. В лощине слышна была наша цепь, уже вступившая в дело и весело перещелкивающаяся с неприятелем.
Ростову, как от звуков самой веселой музыки, стало весело на душе от этих звуков, давно уже не слышанных. Трап та та тап! – хлопали то вдруг, то быстро один за другим несколько выстрелов. Опять замолкло все, и опять как будто трескались хлопушки, по которым ходил кто то.
Гусары простояли около часу на одном месте. Началась и канонада. Граф Остерман с свитой проехал сзади эскадрона, остановившись, поговорил с командиром полка и отъехал к пушкам на гору.